函数的连续性(114).ppt
课前练习,2.指出下列函数的间断点并分类,三、函数的间断点,一、变量的改变量,2.6 函数的连续性,二、连续函数的概念,四、初等函数的连续性,五、函数的连续性在求极限中的应用,Continuity of Function,六、闭区间上连续函数的性质,1.1、变量的改变量,一、变量的改变量,2.6 函数的连续性,1.2、函数的改变量,二、连续函数的概念,2.1、f(x)在一点处连续性,2.2、f(x)在区间上连续性,三、函数的间断点,3.1、间断点定义,3.2、间断点分类,四、初等函数的连续性,4.1、连续函数的性质,四、初等函数的连续性,性质1,4.1、连续函数的性质,即“连续函数四则运算后的新函数仍连续。”,四、初等函数的连续性,性质2,性质3（反函数的连续性）,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,(复合函数的连续性),即“连续函数经复合后的新函数仍连续。”,单调连续函数的反函数仍为单调连续函数。,2.6 函数的连续性,4.2、定义区间连续性,1.1、变量的改变量,一、变量的改变量,1.2、函数的改变量,二、连续函数的概念,2.1、f(x)在一点处连续性,2.2、f(x)在区间上连续性,三、函数的间断点,3.1、间断点定义,3.2、间断点分类,四、初等函数的连续性,4.1、连续函数的性质,四、初等函数的连续性,4.2、定义区间连续性,结论1 基本初等函数在定义域内是连续的.,结论2 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,其中定义区间是指包含在定义域内的区间.,例如：,四、初等函数的连续性,4.2、定义区间连续性,结论1 基本初等函数在定义域内是连续的.,结论2 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,其中定义区间是指包含在定义域内的区间.,初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,注意:,例如:,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义.,四、初等函数的连续性,例1,解：,四、初等函数的连续性,例1,综上知f(x)的连续区间是,2.6 函数的连续性,四、初等函数的连续性,4.1、连续函数的性质,4.2、定义区间连续性,五、函数连续性在求极限中的应用,代入法求极限,1.1、变量的改变量,一、变量的改变量,1.2、函数的改变量,二、连续函数的概念,2.1、f(x)在一点处连续性,2.2、f(x)在区间上连续性,三、函数的间断点,3.1、间断点定义,3.2、间断点分类,例2,例3,解：,解：,五、函数连续性在求极限中的应用,1、“代入法”求极限的理论基础,初等函数求极限的方法代入法.,五、函数连续性在求极限中的应用,2、极限符号与函数符号的可交换性,例4,例5,五、函数连续性在求极限中的应用,例6,例7,五、函数连续性在求极限中的应用,例8,五、函数连续性在求极限中的应用,*,2.6 函数的连续性,四、初等函数的连续性,4.1、连续函数的性质,4.2、定义区间连续性,五、函数连续性在求极限中的应用,代入法求极限,六、闭区间上连续函数的性质,(最值;有界;介值;零点),1.1、变量的改变量,一、变量的改变量,1.2、函数的改变量,二、连续函数的概念,2.1、f(x)在一点处连续性,2.2、f(x)在区间上连续性,三、函数的间断点,3.1、间断点定义,3.2、间断点分类,f(x)在a,b上连续，在点 x1处取得最大值M，在点x2处取得最小值m。,六、闭区间上连续函数的性质,6.1、最大值与最小值定理,定理：若函数f(x)在闭区间a,b上连续，它在这个区间上一定有最大值和最小值。,几何解释,注函数的最值可能在区间内取得，也可能在区间的端点处取得。,六、闭区间上连续函数的性质,注若f(x)在开区间(a,b)内连续，则不一定有最大最小值；,注若f(x)在a,b内不连续，则不一定有最大最小值。,六、闭区间上连续函数的性质,6.2、有界性定理,定理:若f(x)在a,b上连续,则f(x)在a,b上必有界.,证明:由最值定理易证之.,6.3、介值定理,定理:若f(x)在a,b上连续,M和m分别f(x)在a,b上的最大值与最小值,则对介于m与M之间的任一实数c(mcM),至少存在一点(a,b),使f()=c.,几何意义:闭区间上连续曲线 y=f(x)与平行于x轴的直线y=c(mcM)至少相交一次，而且交点的横坐标为x=(a,b).,六、闭区间上连续函数的性质,例9,分析：,只要让值 1 在f(x)的最大最小值之间。,六、闭区间上连续函数的性质,例9,证：,得证。,六、闭区间上连续函数的性质,6.4、零点定理,定理:若f(x)在a,b上连续,且f(a)与f(b)异号,即f(a)f(b)0,则至少存在一点(a,b),使得 f()=0.即方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实根。,几何意义:连续曲线弧的两个端点分别位于 x 轴的上、下两侧，则该曲线弧与x轴至少相交一次。,六、闭区间上连续函数的性质,应用:(1)可以证明方程根的存在性。,例10,证：,上式表明 x0 是原方程得一个实根，,得证。,六、闭区间上连续函数的性质,应用:(2),证：,得证。,例11,六、闭区间上连续函数的性质,(1)将要证的等式改写为等号右边为零的形式，并将 或x0改写为x，则左边的表达式就是辅助函数F(x)；,(2)验证F(x)是否在闭区间连续；是否端点函数值异号若满足，直接使用零点定理得：,(3)转化为要证等式。,六、闭区间上连续函数的性质,例12,证：,得证。,一、无穷小量的比较,作业：P75 1，6(2)，8,Continuity of Function,二、等价无穷小在求极限中的应用,一、无穷小量的比较,2.7 无穷小量的比较,2.7 无穷小量的比较,1.1、问题的提出,一、无穷小量的比较,一、无穷小量的比较,1.1、问题的提出,无穷小的和、差、积仍为无穷小.无穷小的商是什么？,引例:,趋向于零的“快慢”程度不同.,结论:,2.7 无穷小量的比较,1.1、问题的提出,一、无穷小量的比较,1.2、两个无穷小的关系,1.2、两个无穷小的关系:,一、无穷小量的比较,定义：,1.2、两个无穷小的关系:,一、无穷小量的比较,引例：,一、无穷小量的比较,例1,解,例2,解：,一、无穷小量的比较,一、无穷小量的比较,例2,解：,一、无穷小量的比较,例3,解：,由题意知：,即,一、无穷小量的比较,例4,证：,
