函数的表示法(要用).ppt
1.2 函数及其表示,1.2.2 函数的表示法,复习回顾,函数的表示法,常用的有三种:解析法、列表法、图象法。解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析式。解析式只表示一种对应关系,与所取的字母无关。例如:y=2 x 1 与 u=2 t-1 表示同一个函数。函数解析式一定是方程;方程不一定是函数解析式。,例如:x2+y2=1,复习回顾,(1)炮弹发射,(解析法),h=130t-5t2(0t26),(2)南极臭氧层空洞,(图象法),(3)恩格尔系数,(列表法),函数的表示法,1、解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.,解析式,优点:函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值.便于用解析式来研究函数的性质.,函数的表示法,2、图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系.,优点:能直观地表示出函数的变化情况。,注意:图象法是今后利用数形结合思想解题的基础。,图象法:,思考:初中画函数图象主要用什么方法?利用此法画图的主要步骤如何?,初中画函数图象的主要方法是描点法。,按描点法画函数图象的主要步骤有:(1)确定自变量 x 的取值范围,对函数图象 的整体性质有个把握;(2)列表:选取一些典型的点,将x与y的对应值用表列出;(3)描点:将表中点在直角坐标系中描出;(4)连线:用平滑直线或曲线依次连接各点。,例如:一次函数图象:一条直线两点确定一条直线 找两个典型的点通常找与坐标轴的交点。二次函数图象:抛物线开口方向,对称轴,顶 点,与坐标轴交点。,判断一个图形是否是函数图象:,判断下列图象,哪些可以表示函数图象?,x,y,O,x,y,O,x,O,x,O,y,y,A,B,C,D,平行于y轴(也即垂直于x轴)的直线,与函数图象至多有一个交点。,-1,1,函数的表示法,3.列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系.,优点:不必通过运算就知道当自变量取某些值时函数的对应值.,“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况,缺点:经常不可能把所有的对应值列入数表中,而只能达到实际上够用的程度。,函数的表示法,解:(1)用解析法可将函数y=f(x)表示为,y=5x,(2)用列表法可将函数表示为,例1、某种笔记本的单价是5元,买x(x1,2,3,4,5)个笔记本需要 y 元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).,函数的表示法,(3)用图象法可将函数表示为下图,(1)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围?,(2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么?本题中的图象为什么不是一条直线?,函数的定义域是函数存在的前提,在写函数解析式的时候,一定要写出函数的定义域.,列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线).,函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.,想一想,函数的表示法,例2.下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.,表格能否直观地分析出三位同学成绩高低?如何才能更好的比较三个人的成绩高低?,请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。,函数的表示法,解:将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函数图象表示出来。可以看出:王伟同学学习情况稳定且成绩优秀;张城同学的成绩在班级平均水平上下波动,且波动幅度较大;赵磊同学的成绩低于班级平均水平,但成绩在稳步提高.,.,.,.,.,.,.,王伟,张城,班平均分,赵磊,函数的表示法,练习.向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是(),B,分段函数,解:由绝对值的意义,知,例3.画出函数 的图象.,图像如下,1,函数图像变换专题,y=|x-1|,比较例3的做图方法与例1、例2有何不同?,例1、例2采用的是描点法;例3可借助于已知函数画图象.,描点法一般适用于那些复杂的函数,而对于一些结构比较简单的函数,则通常借助于一些基本函数的图象来变换.,想一想,分段函数,例4某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:(1)5公里以内(含5公里),票价2元;(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算)如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价y与里程x之间的函数解析式,并画出函数的图象,解:设票价为y元,里程为x公里,由题意可知,自变量的取值范围是(0,20,由票价制定规则,可得到以下函数解析式:,分段函数,解:函数解析式为,有些函数在它的定义域中,对于自变量的不同取值范围,对应关系不同,这种函数通常称为分段函数,2,,3,,4,,5,y,0 x5,=,5 x10,10 x15,15 x20,分段函数,2,3,4,5,问:此函数能用列表法表示吗?,此分段函数的定义域为,此分段函数的值域为,每段上的函数解析式是怎样求出的?,自变量的范围是怎样得到的?,自变量的范围为什么分成了四个区间?区间端点是怎样确定的?,作函数图象:,作出下列函数的图象,并求函数的值域:,y=|1-x|,y=x-n(nZ,且-2n1,xn,n+1)),作函数图象:,y=|1-x|,解:y=|1-x|=,函数的值域是 0,+),|x-1|=,x,y,O,4,3,2,1,1,2,3,4,作函数图象:,解:,函数的值域是(0,+),x,y,O,4,3,2,1,1,2,3,4,-3,-2,-1,5,分段函数的值域求法:分别把每段函数的值域求出,再取它们的并集。,作函数图象:,解:,函数的定义域是-2,2),x,y,O,2,1,1,2,-2,-1,y=x-n(nZ,且-2n1,xn,n+1),函数的值域是0,1),y=,x+2,nZ,且-2n1,n=-2,-1,0,1,x+1,x,x-1,(n=-2,-2x-1),(n=-1,-1x0),(n=0,0 x1),(n=1,1x2),分段函数,注意:1、有些函数在它的定义域中,对于自变量x的不同取值范围,对应关系不同,这种函数通常称为分段函数。分段函数的表达式虽然不止一个,但它不是几个函数,而是一个函数。2、分段函数的定义域是各段“定义域”的并集,值域是各段“值域”的并集。3、函数图象不一定是光滑曲线(直线),还可以是一些孤立的点、一些线段、一段曲线等。,分段函数,1.已知函数,若 f(x)=3,则x的值是().,A.1,B.,C.,D.,D,分段函数是一个函数,不要把它误认为是“几个函数”。,【定义域】?,【值域】?,分段函数,解:由题意知,y=|x+5|+|x 1|,当 x 5 时,,y=(x+5)(x 1),=2x4,当 5 x 1 时,,y=(x+5)(x 1)=6,当 x 1 时,,y=(x+5)+(x 1),=2x+4,2.化简函数,【定义域】?,【值域】?,分段函数,3(浙江13)已知 f(x)=,则不等式 x+(x+2)f(x+2)5的解集是_.,小结:采取分类的方法,利用已知分段函数,把 所求不等式化为分段的几个不等式,然后取不等式解集的并集。,分段函数,4.(上海)函数,的值域是。,小结:采取分类的方法,利用已知分段函数,把各段的值域求出来,再取它们的并集;或把所求函数的值域转化成画函数图象,然后根据函数图象找到函数的值域。,课堂小结,1.理解函数的三种表示法及其各自的优点;,3.分段函数的表示方法及其图象的画法.,2.通过例1,2,3,掌握描点法和利用已知函数作图的方法、步骤,体会函数的图象(数形结合)在解决数学问题时的直观效果.,作业,补充作业:求函数y=|2x+1|+|x 2|值域,教材P24习题1.2 A组T1,4,5;T7,9;B组T4,映射,复习回顾:,函数的概念:设A,B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:AB 为从集合A到集合B的一个函数,记作 y=f(x),xA 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域,与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合 f(x)|x A 叫做函数的值域。,复习回顾:,如果将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,我们就可以得到映射的概念。例如:对任意实数a,数轴上都有唯一的一个点和它对应;坐标平面内的任意一个点A,都有唯一的一个有序实数对(x,y)和它对应;任何一个三角形,都有唯一一个确定的面积和它对应;我们班的每一个学生都有唯一一个学号和他(她)对应。,映射:,映射:,例1、从集合 A 到集合 B 的映射:(1)设A=1,2,3,4,B=3,4,5,6,7,8,9,集合A中的元素 x 按照对应法则“乘 2 加 1”和集合 B 中的元素 2x+1 对应.(2)设A=N*,B=0,1,集合A中的元素 x 按照对应法则“x 除以 2 得的余数”和集合B中的元素对应.(3)设 A=x|x 是三角形,B=y|y 0,集合 A 中的元素 x 按照对应关系“计算面积”和集合 B 中的元素对应.,象与原象:,定义:给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a A,b B,如果元素 a 和元素 b 对应,那么,我们就把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象.,例如,右图就表示一个集合 A 到集合 B 的映射,对应法则是“乘以2”,集合 B 中的 4 是集合 A 中的 2 的象,集合 A 中的 2 是集合 B 中的 4 的原象.,概念的理解:,集合A、B,可以是数集,也可以是点集或其他集合。存在性和唯一性:集合A中的元素一定有象,且唯一。集合B中的元素未必有原象,即使有也未必唯一。封闭性:集合A的任一元素的象必在B中,但不要求B中的每一个元素都有原象。即A中元素的象集是B的子集。,定义:设 A,B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f,对于集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A,B 以及 A 到 B 的对应法则 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A B.,概念的理解:,有序性:映射是有方向的。“A到B的映射”与“B到A的映射”一般不是同一个映射。映射三要素:集合A,B,以及对应法则 f 一对一、多对一的对应是映射,一对多的对应不是映射。,定义:设 A,B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f,对于集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A,B 以及 A 到 B 的对应法则 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A B.,思考:如果从对应来说,什么样的对应才是一个映射?,思考:函数与映射之间的异同点?,映射是函数的推广,函数是特殊的映射。,(1)函数是特殊的映射,是数集到数集的映射,(2)映射是函数概念的扩展,映射不一定是函数,(3)映射与函数都是特殊的对应,思考:映射与函数有什么区别与联系?,小结,映射与函数的相同点和不同点(1)相同点:函数与映射都是两个集合中的元素的对应;函数与映射分别都有三个要素;函数映射的对应都具有方向性;函数中的两个集合与映射中两个集合都是非空的;对应类型只有:一对一,或多对一(2)不同点:函数是一种特殊的映射,映射是函数的扩展;函数中的两个集合是非空的数集,映射中的两个集合的元素 是任意的。,练习巩固:,映射的判断:判断集合A到集合B的对应是否是映射 看A中的每一个元素在B中求映射下的象与原象:例:已知集合A=N,B=R,f:xy=,xA,yB。在f 的作用下,的原象是多少?8 的象是多少?可以构成映射的个数:如果有限集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从A到B可以构成nm个映射。,练习巩固,b1b2b3,a1a3a2a4,a1a3a2a4,b1b2b3b4,a1a3a2a4,b1b2b3b4,(1),(2),(3),24-10,48-20,01-12-2,0123,(4),(5),是,不是,不是,是,是,例1.下面7个对应,其中哪些是集合到的映射?,练习巩固:,1、给出下列关于从集合A到集合B的映射的论述,其中正确的有_(1)B 中任何一个元素在 A 中必有原象;(2)A 中不同元素在 B 中的象也不同;(3)A 中任何一个元素在 B 中的象是唯一的;(4)A 中任何一个元素在 B 中可以有不同的象;(5)B 中某一元素在 A 中的原象可能不止一个;(6)集合 A 与 B 一定是数集;(7)记号f:AB与f:BA的含义是一样的,(3)(5),错误,错误,正确,正确,错误,错误,错误,练习巩固:,2、下面哪一个说法正确?(A)对于任意两个集合A与B,都可以建立一个从集合A到集合B的映射(B)对于两个无限集合A与B,一定不能建立一个从集合A到集合B的映射(C)如果集合A中只有一个元素,B为任一非空集合,那么从集合A到集合B只能建立一个映射(D)如果集合B只有一个元素,A为任一非空集合,则从集合A到集合B只能建立一个映射,D,小 结,1、映射实质上是“多对一”或“一对一”的对应,但不包括“一对多”等;2、函数是一种特殊的映射,确定函数y=f(x)的映射 f:AB 要求A、B 都是非空数集;3、对于一个从集合A到集合B 的映射来说,A中的每一个元素必有唯一的象,但B 中的每一个元素不一定都有原象,如有,也不一定只有一个.,分段函数,补例:某质点在30s内运动速度v(cm/s)是时间t(s)的函数,它的图像如下图.,解:解析式为,v(t)=,t+10,0 t5,3t,5 t10,30,10 t 20,-3t+90,20 t30.,t=9s时,v(9)=39=27(cm/s).,用解析式表示出这个函数,并求出9s时质点的速度.,求函数的解析式,1.y=kx+b经过点(1,0),(0,1),则y=_;2.求满足下列条件的二次函数 f(x)的解析式:顶点坐标为(2,3),且图象经过(3,1)点,则 f(x)=_;,x 1,2(x2)2+3,3.已知函数f(x)=x2+x-1,则 f(2)=_,若f(x)=5,则 x=_.,5,2或-3,求函数的解析式,例1.已知f(x)是一次函数,且ff(x)=4x1,求f(x)的解析式,解:设 f(x)=kx+b(k0),则 ff(x)=f(kx+b)=k(kx+b)+b,=k2x+kb+b=4x1.,1.待定系数法,必有,(函数类型确定时用此法),求函数的解析式,一般式:y=ax2+bx+c(a0),两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a0),顶点式:y=a(x-h)2+k(a0),解:,设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c(a0),由题意得:,a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7,解方程组得:,因此:所求二次函数是:,a=2,b=3,c=5,y=2x2-3x+5,练习1.已知一个二次函数的图象过点(1,10)、(1,4)、(2,7)三点,求这个函数的解析式?,求函数的解析式,一般式:y=ax2+bx+c(a0),两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a0),顶点式:y=a(x-h)2+k(a0),练习2.已知抛物线的顶点为(1,3),与y轴 交点为(0,5)求抛物线的解析式?,解:,设所求的二次函数为 y=a(x1)2 3(a0),由条件得:,点(0,5)在抛物线上,a 3=5,得a=2,故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2 3,即:y=2x2-4x5,求函数的解析式,一般式:y=ax2+bx+c(a0),两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a0),顶点式:y=a(x-h)2+k(a0),练习3.已知抛物线与x轴交于A(1,0),B(1,0),并经过点M(0,1),求抛物线的解析式?,解:,设所求的二次函数为 y=a(x1)(x1),由条件得:,点M(0,1)在抛物线上,所以:a(0+1)(0-1)=1,得:a=1,故所求的抛物线解析式为 y=-(x1)(x-1),即:y=x2+1,求函数的解析式,f(x)=x21(x1).,f(t)=t2-1,2.配凑法-变形解析式,整体换元,求函数的解析式,解:,设,则,即,练习,求函数的解析式,解:,求函数的解析式,f(x)=x21(x1).,3.换元法,求函数的解析式,解:,令,则,即,练习,求函数的解析式,4.消去法,利用方程思想,采用解方程组的方法消去不需要的函数式子,求函数的解析式,求函数的解析式,5.赋值法,令 x=0,y=0,x=y,x=y等是常用赋值技巧,具体视题设而定。,求函数的解析式,求函数的解析式,