函数的表示法(要用).ppt

1.2 函数及其表示,1.2.2 函数的表示法,复习回顾,函数的表示法，常用的有三种：解析法、列表法、图象法。解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式。解析式只表示一种对应关系，与所取的字母无关。例如：y=2 x 1 与 u=2 t-1 表示同一个函数。函数解析式一定是方程；方程不一定是函数解析式。,例如：x2+y2=1,复习回顾,(1)炮弹发射,（解析法）,h=130t-5t2（0t26）,(2)南极臭氧层空洞,（图象法）,(3)恩格尔系数,(列表法),函数的表示法,1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.,解析式,优点：函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值.便于用解析式来研究函数的性质.,函数的表示法,2、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.,优点：能直观地表示出函数的变化情况。,注意：图象法是今后利用数形结合思想解题的基础。,图象法：,思考：初中画函数图象主要用什么方法？利用此法画图的主要步骤如何？,初中画函数图象的主要方法是描点法。,按描点法画函数图象的主要步骤有：（1）确定自变量 x 的取值范围，对函数图象 的整体性质有个把握；（2）列表：选取一些典型的点，将x与y的对应值用表列出；（3）描点：将表中点在直角坐标系中描出；（4）连线：用平滑直线或曲线依次连接各点。,例如：一次函数图象：一条直线两点确定一条直线 找两个典型的点通常找与坐标轴的交点。二次函数图象：抛物线开口方向，对称轴，顶 点，与坐标轴交点。,判断一个图形是否是函数图象：,判断下列图象，哪些可以表示函数图象？,x,y,O,x,y,O,x,O,x,O,y,y,A,B,C,D,平行于y轴（也即垂直于x轴）的直线，与函数图象至多有一个交点。,-1,1,函数的表示法,3.列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系.,优点：不必通过运算就知道当自变量取某些值时函数的对应值.,“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况,缺点：经常不可能把所有的对应值列入数表中，而只能达到实际上够用的程度。,函数的表示法,解:(1)用解析法可将函数y=f(x)表示为,y=5x,(2)用列表法可将函数表示为,例1、某种笔记本的单价是5元,买x(x1,2,3,4,5)个笔记本需要 y 元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).,函数的表示法,(3)用图象法可将函数表示为下图,(1)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？,(2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么？本题中的图象为什么不是一条直线？,函数的定义域是函数存在的前提,在写函数解析式的时候,一定要写出函数的定义域.,列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线).,函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.,想一想,函数的表示法,例2.下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.,表格能否直观地分析出三位同学成绩高低?如何才能更好的比较三个人的成绩高低?,请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。,函数的表示法,解：将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函数图象表示出来。可以看出：王伟同学学习情况稳定且成绩优秀；张城同学的成绩在班级平均水平上下波动,且波动幅度较大;赵磊同学的成绩低于班级平均水平,但成绩在稳步提高.,.,.,.,.,.,.,王伟,张城,班平均分,赵磊,函数的表示法,练习.向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是(),B,分段函数,解:由绝对值的意义,知,例3.画出函数 的图象.,图像如下,1,函数图像变换专题,y=|x-1|,比较例3的做图方法与例1、例2有何不同？,例1、例2采用的是描点法;例3可借助于已知函数画图象.,描点法一般适用于那些复杂的函数,而对于一些结构比较简单的函数,则通常借助于一些基本函数的图象来变换.,想一想,分段函数,例4某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里),票价2元；(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算)如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价y与里程x之间的函数解析式,并画出函数的图象,解:设票价为y元,里程为x公里,由题意可知,自变量的取值范围是(0,20,由票价制定规则,可得到以下函数解析式：,分段函数,解:函数解析式为,有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数,2，,3，,4，,5,y,0 x5,=,5 x10,10 x15,15 x20,分段函数,2,3,4,5,问：此函数能用列表法表示吗？,此分段函数的定义域为,此分段函数的值域为,每段上的函数解析式是怎样求出的？,自变量的范围是怎样得到的？,自变量的范围为什么分成了四个区间？区间端点是怎样确定的？,作函数图象：,作出下列函数的图象，并求函数的值域：,y=|1-x|,y=x-n（nZ，且-2n1，xn,n+1)）,作函数图象：,y=|1-x|,解：y=|1-x|=,函数的值域是 0,+）,|x-1|=,x,y,O,4,3,2,1,1,2,3,4,作函数图象：,解：,函数的值域是（0,+）,x,y,O,4,3,2,1,1,2,3,4,-3,-2,-1,5,分段函数的值域求法：分别把每段函数的值域求出，再取它们的并集。,作函数图象：,解：,函数的定义域是-2,2）,x,y,O,2,1,1,2,-2,-1,y=x-n（nZ，且-2n1，xn,n+1),函数的值域是0,1）,y=,x+2,nZ，且-2n1,n=-2，-1，0，1,x+1,x,x-1,（n=-2，-2x-1）,（n=-1，-1x0）,（n=0，0 x1）,（n=1，1x2）,分段函数,注意：1、有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数。分段函数的表达式虽然不止一个，但它不是几个函数，而是一个函数。2、分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，值域是各段“值域”的并集。3、函数图象不一定是光滑曲线（直线），还可以是一些孤立的点、一些线段、一段曲线等。,分段函数,1.已知函数,若 f(x)=3,则x的值是().,A.1,B.,C.,D.,D,分段函数是一个函数,不要把它误认为是“几个函数”。,【定义域】？,【值域】？,分段函数,解：由题意知,y=|x+5|+|x 1|,当 x 5 时，,y=(x+5)(x 1),=2x4,当 5 x 1 时，,y=(x+5)(x 1)=6,当 x 1 时，,y=(x+5)+(x 1),=2x+4,2.化简函数,【定义域】？,【值域】？,分段函数,3（浙江13）已知 f(x)=,则不等式 x+(x+2)f(x+2)5的解集是_.,小结：采取分类的方法，利用已知分段函数，把 所求不等式化为分段的几个不等式，然后取不等式解集的并集。,分段函数,4.（上海）函数，的值域是。,小结：采取分类的方法，利用已知分段函数，把各段的值域求出来，再取它们的并集；或把所求函数的值域转化成画函数图象，然后根据函数图象找到函数的值域。,课堂小结,1.理解函数的三种表示法及其各自的优点；,3.分段函数的表示方法及其图象的画法.,2.通过例1,2,3,掌握描点法和利用已知函数作图的方法、步骤，体会函数的图象(数形结合)在解决数学问题时的直观效果.,作业,补充作业：求函数y=|2x+1|+|x 2|值域,教材P24习题1.2 A组T1,4,5；T7,9；B组T4,映射,复习回顾：,函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称 f：AB 为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f（x），xA 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|x A 叫做函数的值域。,复习回顾：,如果将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合，我们就可以得到映射的概念。例如：对任意实数a，数轴上都有唯一的一个点和它对应；坐标平面内的任意一个点A，都有唯一的一个有序实数对（x，y）和它对应；任何一个三角形，都有唯一一个确定的面积和它对应；我们班的每一个学生都有唯一一个学号和他(她)对应。,映射：,映射：,例1、从集合 A 到集合 B 的映射：（1）设A=1，2，3，4，B=3，4，5，6，7，8，9，集合A中的元素 x 按照对应法则“乘 2 加 1”和集合 B 中的元素 2x+1 对应.（2）设A=N*,B=0，1,集合A中的元素 x 按照对应法则“x 除以 2 得的余数”和集合B中的元素对应.（3）设 A=x|x 是三角形，B=y|y 0，集合 A 中的元素 x 按照对应关系“计算面积”和集合 B 中的元素对应.,象与原象：,定义：给定一个集合 A 到集合 B 的映射，且 a A，b B，如果元素 a 和元素 b 对应，那么，我们就把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象.,例如，右图就表示一个集合 A 到集合 B 的映射，对应法则是“乘以2”，集合 B 中的 4 是集合 A 中的 2 的象，集合 A 中的 2 是集合 B 中的 4 的原象.,概念的理解：,集合A、B，可以是数集，也可以是点集或其他集合。存在性和唯一性：集合A中的元素一定有象，且唯一。集合B中的元素未必有原象，即使有也未必唯一。封闭性：集合A的任一元素的象必在B中，但不要求B中的每一个元素都有原象。即A中元素的象集是B的子集。,定义：设 A，B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 A，B 以及 A 到 B 的对应法则 f）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f:A B.,概念的理解：,有序性：映射是有方向的。“A到B的映射”与“B到A的映射”一般不是同一个映射。映射三要素：集合A，B，以及对应法则 f 一对一、多对一的对应是映射，一对多的对应不是映射。,定义：设 A，B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 A，B 以及 A 到 B 的对应法则 f）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f:A B.,思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射？,思考：函数与映射之间的异同点？,映射是函数的推广，函数是特殊的映射。,（1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射,（2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数,（3）映射与函数都是特殊的对应,思考：映射与函数有什么区别与联系？,小结,映射与函数的相同点和不同点（1）相同点：函数与映射都是两个集合中的元素的对应；函数与映射分别都有三个要素；函数映射的对应都具有方向性；函数中的两个集合与映射中两个集合都是非空的；对应类型只有：一对一，或多对一（2）不同点：函数是一种特殊的映射，映射是函数的扩展；函数中的两个集合是非空的数集，映射中的两个集合的元素 是任意的。,练习巩固：,映射的判断:判断集合A到集合B的对应是否是映射 看A中的每一个元素在B中求映射下的象与原象：例：已知集合A=N，B=R，f：xy=，xA，yB。在f 的作用下，的原象是多少？8 的象是多少？可以构成映射的个数：如果有限集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B可以构成nm个映射。,练习巩固,b1b2b3,a1a3a2a4,a1a3a2a4,b1b2b3b4,a1a3a2a4,b1b2b3b4,(1),(2),(3),24-10,48-20,01-12-2,0123,(4),(5),是,不是,不是,是,是,例1.下面7个对应,其中哪些是集合到的映射?,练习巩固：,1、给出下列关于从集合A到集合B的映射的论述，其中正确的有_（1）B 中任何一个元素在 A 中必有原象;（2）A 中不同元素在 B 中的象也不同;（3）A 中任何一个元素在 B 中的象是唯一的;（4）A 中任何一个元素在 B 中可以有不同的象;（5）B 中某一元素在 A 中的原象可能不止一个;（6）集合 A 与 B 一定是数集；（7）记号f：AB与f：BA的含义是一样的,(3)(5),错误,错误,正确,正确,错误,错误,错误,练习巩固：,2、下面哪一个说法正确？（A）对于任意两个集合A与B，都可以建立一个从集合A到集合B的映射（B）对于两个无限集合A与B，一定不能建立一个从集合A到集合B的映射（C）如果集合A中只有一个元素，B为任一非空集合，那么从集合A到集合B只能建立一个映射（D）如果集合B只有一个元素，A为任一非空集合，则从集合A到集合B只能建立一个映射,D,小 结,1、映射实质上是“多对一”或“一对一”的对应，但不包括“一对多”等；2、函数是一种特殊的映射，确定函数y=f(x)的映射 f:AB 要求A、B 都是非空数集；3、对于一个从集合A到集合B 的映射来说，A中的每一个元素必有唯一的象，但B 中的每一个元素不一定都有原象，如有，也不一定只有一个.,分段函数,补例:某质点在30s内运动速度v(cm/s)是时间t(s)的函数,它的图像如下图.,解:解析式为,v(t)=,t+10,0 t5,3t,5 t10,30,10 t 20,-3t+90,20 t30.,t=9s时,v(9)=39=27(cm/s).,用解析式表示出这个函数,并求出9s时质点的速度.,求函数的解析式,1.y=kx+b经过点(1,0),(0,1),则y=_;2.求满足下列条件的二次函数 f(x)的解析式:顶点坐标为(2,3),且图象经过(3,1)点,则 f(x)=_;,x 1,2(x2)2+3,3.已知函数f(x)=x2+x-1,则 f(2)=_,若f(x)=5,则 x=_.,5,2或-3,求函数的解析式,例1.已知f(x)是一次函数,且ff(x)=4x1,求f(x)的解析式,解:设 f(x)=kx+b（k0）,则 ff(x)=f(kx+b)=k(kx+b)+b,=k2x+kb+b=4x1.,1.待定系数法,必有,(函数类型确定时用此法),求函数的解析式,一般式：y=ax2+bx+c(a0),两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0),顶点式：y=a(x-h)2+k(a0),解：,设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c（a0）,由题意得：,a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7,解方程组得：,因此：所求二次函数是：,a=2,b=3,c=5,y=2x2-3x+5,练习1.已知一个二次函数的图象过点（1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？,求函数的解析式,一般式：y=ax2+bx+c(a0),两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0),顶点式：y=a(x-h)2+k(a0),练习2.已知抛物线的顶点为（1，3），与y轴 交点为（0,5）求抛物线的解析式？,解：,设所求的二次函数为 y=a(x1)2 3（a0),由条件得：,点(0,5)在抛物线上,a 3=5,得a=2,故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2 3,即：y=2x2-4x5,求函数的解析式,一般式：y=ax2+bx+c(a0),两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0),顶点式：y=a(x-h)2+k(a0),练习3.已知抛物线与x轴交于A(1,0)，B(1,0)，并经过点M(0,1)，求抛物线的解析式？,解：,设所求的二次函数为 y=a(x1)(x1）,由条件得：,点M(0,1)在抛物线上,所以：a(0+1)(0-1)=1,得：a=1,故所求的抛物线解析式为 y=-(x1)(x-1),即：y=x2+1,求函数的解析式,f(x)=x21(x1).,f(t)=t2-1,2.配凑法-变形解析式，整体换元,求函数的解析式,解：,设,则,即,练习,求函数的解析式,解：,求函数的解析式,f(x)=x21(x1).,3.换元法,求函数的解析式,解：,令,则,即,练习,求函数的解析式,4.消去法,利用方程思想，采用解方程组的方法消去不需要的函数式子,求函数的解析式,求函数的解析式,5.赋值法,令 x=0,y=0,x=y,x=y等是常用赋值技巧，具体视题设而定。,求函数的解析式,求函数的解析式,