函数的微分在近似计算中的应用.ppt
1,2023/10/27,函数的微分,2,正方形金属薄片受热后面积的改变量.,一、微分的定义,引例,3,如果函数 yf(x)的增量可表示为Dyf(x0Dx)f(x0)ADxo(Dx)其中 A 是与 Dx 无关的常数,则称函数 yf(x)在点 x0可微.而 ADx 叫做函数 yf(x)在点 x0 相应于自变量增量 Dx 的微分 记作 dy 即dyADx,微分的定义,(微分的实质),问题:是否所有函数的改变量都可表示为DyADxo(Dx)?,线性函数 ADx 中的 A 是什么?,4,函数 yf(x)在任意点 x 的微分 称为函数的微分 记作 dy 或 df(x)即dyf(x)Dx,例如 dcos x(cos x)Dx sin x Dx,dex(e x)DxexDx,可微与可导的关系,yf(x)在点 x0 可微 DyADxo(Dx)dy=ADx,函数 f(x)在点 x0 可微 函数 f(x)在点 x0 可导函数 y=f(x)在点 x0 的微分一定是 dyf(x0)Dx,5,dx=(x)Dx=Dx 自变量 x 的微分 dx 等于增量 Dx,即,函数 yf(x)的微分更习惯地记作,自变量的微分,dyf(x)dx,dxDx,函数 yf(x)的微分:dyf(x)Dx,6,二、微分的几何意义,当|Dx|很小时|Dydy|比|Dx|小得多 于是,Dy 是曲线上点的纵坐标的增量;,dy 是过点(x0 f(x0)的切线上点的纵坐标的增量.,当 x 从 x0 变到 x0+Dx 时,用切线小段 MP 近似代替曲线小段 MN,微分的几何意义:,7,三、基本微分公式与微分运算法则,d(xm)m xm1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(a x)ax ln adx d(e x)exdx,(xm)m xm1(sin x)cos x(cos x)sin x(tan x)sec2 x(cot x)csc2x(sec x)sec x tan x(csc x)csc x cot x(a x)ax ln a(e x)ex,微分公式:,导数公式:,1.基本初等函数的微分公式,8,微分公式:,导数公式:,9,2.函数和、差、积、商的微分法则,公式 d(uv)vduudv 的证明 因为 d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx 而 udxdu vdxdv 所以 d(uv)vduudv,(uv)uv(Cu)Cu(uv)uvuv,求导法则,微分法则,10,设 yf(u)及 uj(x)可微 则复合函数 yfj(x)的微分为dyyxdxf(u)j(x)dx 因为 j(x)dxdu 所以 复合函数 yfj(x)的微分公式也可以写成dyf(u)du 或 dyyudu,3.复合函数的微分法则,由此可见 无论 u 是自变量还是中间变量,微分形式 dyf(u)du 保持不变 这一性质称为微分形式不变性.,微分等式 df(x)=f(x)dx 中的自变量 x 可用可微中间变量 uj(x)代换.,11,四、微分在近似计算中的应用,函数的近似计算,当函数 yf(x)在点 x0 处的导数 f(x)0 且|Dx|很小时 我们有 Dy dy f(x0)Dx f(x0Dx)f(x0)dy f(x0)Dx f(x0Dx)f(x0)f(x0)Dx 若令 x x0Dx 即 Dx xx0 那么又有 f(x)f(x0)f(x0)(xx0)特别当 x00 时 有 f(x)f(0)f(0)x,12,例7 有一批半径为 1cm 的球 为了提高球面的光洁度 要镀上一层铜 厚度定为 001cm 估计一下每只球需用铜多少 g(铜的密度是89g/cm3)?,求函数增量的近似公式 f(x0Dx)f(x0)f(x0)Dx,镀层的体积为 DVV(R0DR)V(R0)V(R0)DR4pR02DR 431412001 013(cm3)于是镀每只球需用的铜约为 01389 116(g),解,已知球体体积为 R01cm DR001cm,13,求函数值的近似公式 f(x0Dx)f(x0)f(x0)Dx,例8 利用微分计算 sin 3030 的近似值,sin x0 cos x0 Dx,sin 3030,sin(x0Dx),解,14,例9,解,常用的近似公式(假定|x|是较小的数值),(2)sin x x;(3)tan x x;(4)ex 1x(5)ln(1x)x,求函数在 x0 附近的值的近似公式 f(x)f(0)f(0)x,误差估计,15,小 结1,微分的定义,微分公式与运算法则,1.基本公式,2.函数和、差、积、商的微分法则,3.复合函数的微分法则,微分形式不变性,微分的几何意义与函数的一次近似,16,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.,导数与微分的联系:,小 结2,17,导数与微分的区别:,18,近似计算的基本公式,19,思考题,20,思考题解答,说法不对.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.,21,四、练习及作业：P54 1.2,22,再见,
