函数的单调性与曲线的凹凸性.pps

第3章,3.4 函数的单调性与曲线的 凹凸性,燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪,1.函数单调性的判定法,若,定理 1 设函数,则 在 I 内单调递增,(递减).,证 无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在开区间 I 内可导,证毕,三、函数的单调性与凹凸性,说明:,2)导数不存在的点也可能是函数单调区间的分界点.,例如,1)驻点是函数单调区间可能的分界点.,例如,x=0是函数单调区间的分界点.,而,x=0不是函数单调区间的分界点.,例1 确定函数,的单调区间.,解,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,例2,令,则,单调减少,从而,即,利用单调性证明当,时,证明,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,1)函数的极值是函数的局部性质.,3)函数的最值是函数的全局性质.,2)对常见函数,极值可能出现在驻点或导数 不存在的点.,2.函数极值的判定法,由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点.,定理 1(取得极值的充分条件),且在空心邻域,内有导数,(证明略),例如,而,容易验证x=0是,的极小,值点.,x=0不是,的极值点.,例3 求函数,的极值.,解,1)求导数,2)求极值可疑点,令,得,令,得,3)列表判别,是极大值点，,极大值为,是极小值点，,极小值为,定义,3.曲线的凹凸与拐点,称曲线弧,是凹,凸弧的分界点,都有切线，且切点,这时也称曲线弧,为凹弧,称为拐点,定理2(凹凸判定法),(1)在 I 内,则 在 I 内图形是凹的;,(2)在 I 内,则 在 I 内图形是凸的.,设函数,在区间I 上有,的,若其上每一点,附近曲线总在切线的上方,相应的函数,称为凹,二阶导数,则,（或凸）,（或下方）,（或凸弧）,函数.,（或凸）,连续曲线上凹弧与,例4 判断曲线,的凹凸性.,解,故曲线,在,上是凹的.,说明:,1)若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法,若曲线,或不存在,的一个拐点.,号,则曲线的凹凸性不变.,在其两侧二阶导数不变,如下:,例5 求曲线,的拐点.,解,不存在,因此点(0,0)为曲线,的拐点.,凹,凸,例6 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解,1)求,2)求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3)列表判别,故该曲线在,及,上是凹的,是凸的,点(0,1)及,均为拐点.,凹,凹,凸,内容小结,1.可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,3.曲线凹凸与拐点的判别,拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点,2.连续函数的极值,导数为0 或不存在的点是可能的极值点,取得极值的充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是(),提示:利用,单调增加,及,B,设在,