函数的单调性与凹凸性.ppt

3.4函数的单调性与曲线的凹凸性,1.单调性判别法,2.单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用,3.曲线凹凸性与拐点的概念,4.曲线凹凸性与拐点的判别法,一、单调性的判别法,定理,在,内可导,(1),上单调增加;,(2),上单调减少;,证,且,应用拉氏定理得,则,则,例 1,又,解,函数单调减少；,函数单调增加.,注：,函数的单调性是一个区间上的性质，,完,数在这一区间上的符号来判定，,的导数符号来判别一个区间上的单调性.,要用导,而不能用一点处,单调区间的求法,问题:,如何确定函数在定义域内各部分区间上函,数的单调性.,定义:,若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间称为函数的单调区间.,注意:,导数等于零的点和不可导点,均可能是单调,区间的分界点.,方法:,然后判断区间内导,数的符号.,完,例 2,解,导数不存在.,注意,区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.,例如，,完,例3,解,解方程,得,间.,单调区间为,例 4,试证明：,证,作辅助函数,因为,又,所以,完,且,例 5,证明方程,有且只有一个实根.,证,令,因,且,根据零点定理,另一方面，,对于任意实数,有,所以,综上所述可知，,方程,在区间,内有且只有一个实根.,二、曲线凹凸的概念,问题,如何研究曲线的弯曲方向?,定义,两点,恒有,两点,恒有,定理 2,阶导数,(1),证明,在情形(1),且,记,并记,则,由拉格朗日中值公式,得,(2),其中,两式相减,即得,格朗日中值公式,得,再利用拉,格朗日中值公式,得,其中,按情形(1)的假设,故,即,亦即,所以,完,例 6,解,因为,完,例 7,解,曲线的拐点及其求法,定义,连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.,拐点的求法:,根据定义知,处异号,如,连续导数,则在这样的点处必有,此外,也可,综上所述,判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的,曲线的拐点及其求法,综上所述,判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的,步骤为:,(1),(2),并求出使,不存在的点;,(3),检查其邻近左、,确定曲线的凹凸,区间和拐点.,求函数的二阶导数,解出全部实根,令,对步骤(2)中求出的每一个点,例8,求曲线,的拐点及凹、凸的区间.,解,易见函数的定义域为,令,得,所以,曲线的凹间为,凸区间为,例 9,解,但,时，,曲线是凸的，,时，,曲线是凹的.,内容小结,1.单调性判别法,单调增加;,单调减少;,除在有限,个点不可导以外,存在且连续，,只要用,2.单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用,定理中的区间换成其它有限或无限区间，,结论,仍然成立.,的零点和,3.曲线凹凸性与拐点的概念,定义,4.曲线凹凸性与拐点的判别法,定理,二阶导数，,的点，,不是拐点，,异号则该点是拐点.,