函数的单调与曲线的凹凸.ppt
第三章 微分中值定理与导数的应用,主讲人：张少强,Tianjin Normal University,计算机与信息工程学院,第四节 函数的单调性 与曲线的凹凸性,函数的单调性,曲线的上升和下降,函数的凹凸性,曲线的弯曲方向,用一阶导数研究,用二阶导数研究,一、函数单调性的判定法,y,o,x,yf(x),若函数 yf(x)在a,b上单调增加，,则它的图形是一条沿x轴正向上升的曲线。,a,b,则曲线上各点处切线的斜率是非负的，,即,若函数 yf(x)在a,b上单调减少，,则它的图形是一条沿x轴正向下降的曲线。,则曲线上各点处切线的斜率是非正的，,即,反之，若函数在某区间可导，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？,答案是肯定的。,讨论：,设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，,在a,b上任取两点x1，x2（不妨设x1x2),由Lagrange中值定理得到：,若在(a,b)内导数始终,又,归纳以上讨论，得定理1,设函数yf(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导,若在(a,b)内,则函数yf(x)在a,b上单调增加；,若在(a,b)内,则函数yf(x)在a,b上单调减少。,换成其他区间也成立,例1 判定函数y=x-sinx 在0,2上的单调性.,解：,在区间0,2上单调增加.,注：若可导函数y=f(x)在区间内导数不恒大于0也不恒小于0，那我们就得将导数为0的点作为分界点，讨论其单调性.,解：函数的定义域为,先求定义域,再求导数为零的点,另外注意，有的函数也可能在所讨论的区间内有导数不存在的点.,解：这函数的定义域为,当x=0时，函数导数不存在.不存在导数为0的点.,先求定义域,讨论函数单调性的过程,求 f(x)的定义区间，且在每个定义区间上连续,在定义区间内求导数为0的点和导数不存在的点为分界点,用分界点划分定义区间,f的符号就能在各个部分区间保持固定.研究各部分区间f的单调性.,例4 确定函数的单调区间,解：定义域为,求导,解方程,在,在,在,解：先求定义域：,再求导数为0（和导数不存在）的点：,最后，在分界点讨论导数的符号：,除了点x=0,其余各点均有,说明：一般地 如果 f(x)在某区间内的有限个点处为零 在其余各点处均为正(或负)时 那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或减少)的,下面讨论：用函数的单调性证明不等式.,若f(a)=0,则有f(x)f(a)=0.,例6,证明,因为当x1时 f(x)0 所以f(x)在1)上f(x)单调增加,因此当x1时 f(x)f(1)=0 即,二、曲线的凹凸性与拐点,函数曲线除了有升有降之外,还有不同的弯曲方向,如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？,曲线的凹凸性定义,设f(x)在区间I上连续 如果对I上任意两点x1 x2 恒有,那么称f(x)在I上的图形是凹的,那么称f(x)在I上的图形是凸的,如果恒有,观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系.,定理2(曲线凹凸性的判定法),设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数.若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凸的,简要证明(1),由拉格朗日中值公式 得,两式相加并应用拉格朗日中值公式得,定理2(曲线凹凸性的判定法),设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数.若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凸的,例7 判断曲线yln x 的凹凸性,因为在函数 yln x 的定义域(0)内 y0 所以曲线yln x是凸的,解,例8 判断曲线yx3的凹凸性 解 y3x 2 y6x 由y0 得x0.因为当x0时 y0 所以曲线在0)内是凹的,设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数.若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f(x)0 则f(x)在a b上的图形是凸的,定理2(曲线凹凸性的判定法),拐点 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点,拐点,讨论 如何确定曲线yf(x)的拐点？如果(x0,f(x0)是拐点且f(x0)=0存在,问f(x0)=？如何找可能的拐点？,提示 如果在x0的左右两侧f(x)异号,则(x0,f(x0)是拐点.在拐点(x0,f(x0)处 f(x0)=0 或 f(x0)不存在.只有f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0)才可能是拐点.,拐点 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点,讨论 如何确定曲线yf(x)的拐点？如果(x0,f(x0)是拐点且f(x0)存在,问f(x0)=？如何找可能的拐点？,例9 求曲线y2x33x22x14的拐点 解 y6x26x12,只有f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0)才可能是拐点.如果在x0的左右两侧f(x)异号,则(x0,f(x0)是拐点.,例10 求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间 解(1)函数y3x44x31的定义域为(),(4)列表判断,在区间(0和2/3)上曲线是凹的;在区间02/3上曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点,0,0,1,11/27,例11 曲线yx4是否有拐点？提示 y4x 3 y12x 2 当x0时 y0 在区间()内曲线是凹的 因此曲线无拐点,例12,解,二阶导数无零点;当x0时,二阶导数不存在 因为当x0 当x0时 y0 所以点(0 0)曲线的拐点,作业,习题343(3);4(2)(4);8(1)(3)(5);9(2)(3);11,
