函数极限的定义(IV).ppt

第三节 函数极限的定义,一、自变量的变化过程,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,三、自变量趋向有限值时函数的极限,四、函数极限的性质,一、自变量的变化过程,播放,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,通过上面演示实验的观察:,问题:,1.x+时 f(x)的极限,定义 设 f(x)在 x a(a0)有定义,对任意给定的正数,总存在正数 X,当 x X 时，恒有|f(x)A|，则称常数 A 是函数 f(x)当 x+时的极限.,几何意义,例1,证,2.x 时 f(x)的极限,几何意义,例2,证,3.x 时f(x)的极限,定理：,几何意义,例3,证,4.水平渐近线(horizontal asymptote),例如：,三、自变量趋向有限值时函数的极限,问题:,1.x x0 时 f(x)的极限,定义 若存在常数 A,对任意给定的正数 0,总存在正数 0,只要 f 的定义域中的点 x 满足0|x x0|时，恒有|f(x)A|成立，则称常数 A 是函数 f(x)当 x x0时的极限,简称 A 是 f(x)在 x0 处的极限.,几何意义,说明,例1,证,例2,证,函数在点x=1处没有定义.,例3,证,用定义证明 的过程：,1.把|f(x)A|化简为|f(x)A|k|x x0|;,2.要|f(x)A|,只要 k|x x0|;,4.验证.,重要结论,幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数等基本初等函数，在其定义域内的每点处的极限都存在且等于函数在该点处的值.,2.单侧极限:,例如,左极限定义,右极限定义,定理,由此有,左右极限存在但不相等,例1,证,在分段点处的极限应考察两侧,四、函数极限的性质,定理1 若极限(或)存在，则极限是惟一的.,1.极限的惟一性,证,不妨设 A B,由定义,对,故极限若存在则必唯一.,定理2,定理2,2.有极限的函数的局部有界性,几何意义,定理3(局部保号性),3.极限的局部保号性,定理3,推论,定理(保序性),推论,4.函数极限的归并性(函数极限与数列极限的关系),定义：,定理：,例如,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,判别极限不存在的一个命题,例1,证,二者不相等,五、小结,函数极限的统一定义,(见下表),思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,一、填空题:,练 习 题,练习题答案,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,