函数极限的判定.ppt

3.3 函数极限存在的条件,本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限,为例,一 Heine归并原则 函数极限与数列极限的关系：,二 单调有界定理:,三 Cauchy准则:,1.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定义,定理,一 Heine归结原则 函数极限与数列极限的关系：,证,例如,2 函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,Heine定理，又称归并原则,一 Heine归结原则 函数极限与数列极限的关系：,Th 3.8 设函数,在点,的某空心邻域,内有定义.,则极限,存在,对任何,且,都存在且相等.,注,是数列，,是数列的极限。所以,的极限归结为数列,的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”。由此，,这个定理把函数,可由数列极限的性质来推断函数极限性质。,注从Heine定理可以得到一个说明,不存在的方法，,即“若可找到一个数列,，,，使得,不存在；”,或“找到两个都以,为极限的数列,使,，,都存在但不相等，则,不存在.,例1,证,二者不相等,注对于,这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可 表示为更强的形式。如当,时有：,定理3.9设函数,在,的某空心邻域,内有定义，,对任何以,为极限的递减数列,，有,.,二、单调有界定理,相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。现以,这种类型为例叙述如下:,Th3.10,设,为定义在,上的单调,存在.,有界函数，则右极限,注：Th.10可更具体地叙述如下：,为定义在,上的函数，若,在,上递增（减）有下（上）界，则,存在，且,；,下面给出关于左极限的相应定理的表述和证明.,定理 设,在,上定义，且,单调上升，则,存在且等于,.,无上界,规定,无下界,规定,.,注,极限存在性,证 令A=,当集合,有上界时,，当它无上界时，,.,1),由上确界定义，,使得,取,，则当,时，由函数单调上升得,再由上确界定义,或,即,。,2),因集合无上界，对,使得,.取,，则当,时,有,即,，,.,类似地我们有:,在,定义，且,单调下降,则,关于右极限的相应结果，同学们自行给出定理的表述和证明。,.,三 Cauchy准则:,Th 3.11(Cauchy准则)设函数,在点,的某空心邻域,内有定义.则,存在,证,(利用Heine归并原则),(利用极限的定义),注：按照Cauchy准则，可以写出,不存在的充要条件：存在,，对任意,，存在,使得,.例：用Cauchy准则说明,综上所述：Heine定理和Cauchy准则是说明极限不存在的很方便的工具。,不存在.,取,小结,一 Heine归并原则 函数极限与数列极限的关系：二 单调有界定理 三 Cauchy准则:,