函数与微分方程的建模.ppt

第 六章 函数与微分方程的建模,微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：,1.根据实际要求确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数等）并确定坐标系。,2.找出这些量所满足的基本规律（物理的、几何的、化学的或生物学的等等）。,3.运用这些规律列出方程和定解条件。,列方程中常见的方法有：,1.按规律直接列方程（如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等）。,2.微元分析法与任意区域上取积分的方法。,3.模拟近似法（在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程）。,在实际的微分方程建模过程中，往往是上述方法的综合应用。,第一节 传染病的流行与宣传运动的关系的数学描述,开展预防传染病（例如艾滋病等）的流行的宣传运动对防止传染病的蔓延起多大作用？这个宣传运动要持续多长时间？要具有多大的强度？,这些问题的讨论将导致含有间断的非齐次项或非齐次项含有函数的一阶线性常微分方程。,我们从最简单的情形不开展宣传运动的情形开始。,最简单的模型不开展宣传运动的情形,设总人数为N是不变的，t时刻得病人数为x(t)，它传染给正常人的传染率为r。,显然，从t到t+t时间内平均传染率为,t时刻的传染率为,从而微分方程为,求解得,令 得,这表明：最终每个人都要染上疾病。,我们得到最简单的数学模型：,可分离变量,持续宣传的作用,为了预防传染病的流行，宣传有如在人们耳边敲起警钟“要当心！”因而是很重要的。,假设：宣传的开展将使得传染上疾病的人数x(t)减少，减少的速度与总人数N成正比，这个比例常数称为宣传强度。,若从t=t00开始，开展一场持续的宣传运动，宣传强度为a，则所得的数学模型为,其中 即Heaviside函数。（单位阶梯函数）,解法1 分段求解,当 时，,当 时，,解一阶线性非齐次方程的初值问题：,得,两段表达式合起来，得,解法2 用拉氏变换法求解,的Laplace变换,的Fourier变换,令 的Laplace变换为，对方程两边求拉氏变换并利用初值得,求逆变换得,令 得,这表明：持续的宣传是起作用的，最终会使发病率减少（0ar）。,进一步地，如果我们从一系列时刻t=t1,t2,tm开始，分别进行强度为a1,a2,am的宣传运动，则得到如下的数学模型：,同样可用分段求解法求解上述初值问题，但计算比较繁琐。若用拉氏变换法求解，则是十分方便的。,令 得,解得,顺时宣传情形的数学模型,如果宣传运动是短暂进行的，这在日常生活中是常见的，例如仅仅是听一个报告，或街头散发传单等等，即在t=t1,t2,tm等m个时刻进行m次宣传，宣传强度分别为a1,a2,am，则数学模型变成,这里我们用 来数学的近似描述时间极为短暂的宣传。这时，模型中含有顺时点源项。,用拉氏变换求解这类方程是方便的。,求解得,令 得,这表明：短暂的宣传（即使是多次的短暂宣传）是不起作用的，最终还是所有的人都传染上疾病。,思考：实际情况，即使短暂的宣传也往往会在人们的头脑中留下一定时间延续的印象，应该怎样描述呢？请大家自己作为练习来建模。,第二节 附录函数及其性质,一、函数的物理模型,对于连续分布的量，一般用密度函数来描述。现设有一条无穷长的杆，沿杆建立了一维坐标系，点的坐标为x，杆的分布密度为(x)。(-,x段上杆的质量为m(x)，则它们的关系是,对于集中分布的量，如何来描述它的密度？,仍以无穷长的杆为例。设无穷长杆的质量为1，质量集中于点x0，则(-,x段杆的质量为,若仍形式地套用连续变化时的(x)来描述它的密度，则应该有,且,特别有,显然，这种(x)已经不能是我们了解的函数了，必须扩充函数概念。,引进脉冲函数,它代表了无穷长杆的某种质量分布。相应地，(-,x段上杆的质量为,特别有总质量,同时又有,无穷长杆单位质量的集中分布可以看成上述脉冲分布当 时的极限情形：,二、函数的引入与函数的性质,引进脉冲函数,则显然有,另外任取一x0处连续的函数f(x)，则有,积分中值定理,令0，则有,定义函数,显然其运算性质,任取一x0处连续的函数f(x)有,定义函数的导数,对任意f(x)，f(x)在x=x0处有连续导数，,注：,这个定义和把函数看作普通函数由分部积分法运算的结果是相同的。因为,类似地，定义函数的n阶导数,三、函数的积分变换,特别地，x0=0时,特别地，x0=0时,注：,函数具有通常函数的富氏变换与拉氏变换的性质。,第三节 房室系统的数学模型及其求解,一、问题的提出,在研究药物在人体的分布过程中，可近似的把人体看成由有限个部分组成的，每个部分称为一个房室，它具有以下特点：,每个房室有固定的容积，每一时刻药物浓度是均匀分布的；,各房室间及各房室与外部环境间均可进行药物交换，而这种交换服从质量守恒定律。,还有许多方面的问题，如污染问题，传染病的传播问题，生态问题等，都可化为这种由有限个部分组成的系统，而每个部分均可看成是满足以下性质的容器，称之为房室：,有固定的容量，内含每个时刻都均匀分布着的单一物质（或能量）；,各个部分（房室）间以及各部分与外环境间均可进行物质（或能量）交换，并服从物质（或能量）守恒定律。,这样的系统称为房室系统。若系统由n个房室组成，我们称之为n房室系统。,问题：如何确定n房室系统中物质的质量分布规律？,二、n房室系统的机理及数学描述,房室标号：,周围环境标号：,t时刻各房室的物质质量：,物质在系统中的分布规律主要是依据各房室间及各房室与周围环境之间的物质流动来决定的。设有一个n房室系统，,从开始至t时刻由第i房室流到第j房室的物质质量mji(t)只与i房室的质量xi(t)有关，而与其他房室的质量xk(t)(ki)无关。环境对j房室的输入质量只与环境有关，而与各房室无关，故为常数。,基本假定,对每一房室均有可能和环境及其他任一房室互有物质流动；,t,t+t时间间隔内，从i房室流到j 房室的平均流量与xi(t)成正比，比例系数为kji，称为由i房室流到j 房室的速率系数；,t,t+t时间间隔内，从i房室流入外环境的平均流量与xi(t)成正比，比例系数为k0i，称为由i房室流入外环境的速率系数（或称排泄速率系数）；,t,t+t时间间隔内，从外环境流到j房室的平均流量为常数fj0，称为环境对j房室的输入流率。,基本定律,质量守恒律,从t到t+t时刻，第i房室的质量的增量,应等于其余各房室和环境流入i房室的物质质量之和再减去第i房室流入环境和其余各房室的质量之和。,从t到t+t时间内，,第j房室流入第i房室的物质质量近似为,环境流入第i房室的物质质量近似为,流入第i房室的总质量近似为,从t到t+t时间内，第i房室流入到其他房室与环境的物质质量近似为,从而有,两边除以t，令t0，则有,写成矩阵形式为,其中,上述各量满足,三、线性常系数房室模型的求解,当微分方程组,中系数均是常数时，这是一个线性常系数方程组的初值问题，它有两类求解问题。,正问题,若常系数aij均是已知的，由微分方程的基本理论可知可用拉氏变换来求解这个初值问题。,反问题,在实际问题中，往往常系数aij是未知的，需要我们借助于测量数据以及某些数学方法估算出来。这种求系统模型中未知参数的问题称为房室系统的辨识问题，在数学上称为常微分方程的反问题，它是相对于通常已知系数去求解xi(t)的正问题而言的。,求解反问题的基本步骤：,系统的可辨识性判断反问题解的存在唯一性,求出初值问题含未知参数的理论解,求最优拟合参数（最小二乘法）,微分方程组中系数的确定,求出初值问题的解,四、应用举例活细胞质膜脂区流动性的分析,用荧光偏振技术测量活细胞脂区流动性（即脂质量的动态变化过程）时，将完整的活细胞放入带有荧光探剂DPH的试管中，管中DPH和脂类结合，就会发荧光，脂类的质量（即DPH的质量）多少和荧光的强度成正比，因此可测出细胞中脂类物质的质量的动态变化，但是不能分别出细胞膜上脂区及细胞内液中脂区的质量之比。因此，希望通过建模方法由实验数据来分别估算出膜上脂量与细胞内液中的脂量。,建立房室模型,把细胞外的DPH液看成一个房室，又把细胞膜与细胞内液分别看成另外两个房室，这就是一个三房室系统。,假设,DPH探剂通过细胞膜后进入细胞内液；,管中的DPH和细胞膜上的DPH有相互扩散作用；,细胞膜和细胞内液之间的DPH有相互扩散作用；,相互间的扩散作用是线性的，即速率系数是常数。,符号表示,x0：实验开始时迅速加入的DPH量；,x1(t)：细胞外的DPH量；,x2(t)：细胞膜上的DPH量；,x3(t)：细胞内液中的DPH量；,数学模型,模型求解,拉氏变换法。,