函数、极限、连续(专升本专用.ppt

1,第一章：函数、极限、连续第二章：导数与微分第三章：中值定理及导数应用第四章：不定积分第五章：定积分与广义积分第六章：偏导数与全微分第七章：二重积分,辅导内容,2,第一章:函数、极限、连续,（一）函数1定义：（1）构成函数的两要素：定义域D,对应规则f;（）当两个函数的定义域和对应规则分别相同时，则可确定这两个函数相同；反之有一个不相同时，就认为是两个不同的函数,3,2.分段函数与隐函数（1）.分段函数：如果变量x与y的函数关系是由两个或两个以上的解析式给出的称分段函数.含绝对值符号的函数也是分段函数.如,分段函数至少有1个以上的分段点，分段点两侧的函数表达式是不同的，因此讨论分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别讨论左、右极限，左、右连续和左、右导数，分段函数一般不是初等函数.,4,（2）.隐函数：如果自变量x与应变量y的函数关系是由方程 给出的，称为隐函数.如,有些隐函数可以化为显函数（不一定是单值函数），有些隐函数则不能化为显函数.,3.复合函数与反函数,u是中间变量，y是因变量,（1）复合函数：若 是 的函数，又是 的函数，且 能使 有意义，,则称,是,的复合函数，其中X是自变量，,5,（）严格单调（一一对应）的函数才有反函数,6,基本初等函数与初等函数,基本初等函数：定义、性质、图形非常重要，特别是图象要很清晰.有助于讨论函数的性质及运算.如：,初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成的并且可由一个解析式表示的函数统称为初等函数,7,若f(x)的定义域关于x=0点不对称，则不可能是奇函数或偶函数。Y=c(c为非零常数)是偶函数，y=0既是奇函数也是偶函数，是非奇非偶的函数,5.非初等函数,（2）积分形式的函数：,8,注：判定一个函数的奇偶性主要根据定义，有时也用其运算性质：奇函数的代数和为奇函数，偶函数的代数和为偶函数；偶函数的积为偶函数；偶数个奇函数的积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。而,9,10,(2)周期性,11,注:求给定函数的周期或有关函数周期性的证明,主要是利用周期函数的定义及周期函数的运算性质.,12,(3)有界性,注:证明或判定函数的有界性主要依据是:1.有界性的定义;2.闭区间上的连续函数是有界的，如果上连续，且 则 上有界；3.有极限的数列必有界.,13,14,(4)单调性,*对数函数与指数函数在其定义域内是严格单调的.,注:已知函数可导时,利用一阶导数判定其单调性;未告之可导时,用单调性定义判定.,15,(二)数列与函数的极限,1.变量的变化过程,16,17,注,18,3.极限的性质:唯一性；局部有界性；局部保号性；局部比较性。有极限必有界,反之不然.,4.极限存在的两个准则:夹逼准则;单调有界准则,19,5.函数极限的运算法则,20,6.无穷小量与无穷大量,21,注：（1）无穷小量与无穷大量不是绝对的,它是与某个变化过程联系在一起的.当我们说某个量是无穷小量或无穷大量一定要指明变化过程.,（2）无穷大量是无界量，反之不然；,（3）无穷小的运算性质,有限个无穷小的代数和仍为无穷小；有限个无穷小的乘积仍为无穷小；无穷小量与有界变量（含常量）的乘积仍为无穷小；,（4）无穷大与无穷小的关系,在同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小；无穷小的倒数是无穷大。,22,5.无穷小的比较,23,极限值非零且不等于1,根据无穷小阶的比较,(B)成立.,24,(三)函数的连续性,1.連续的概念定义1:设函数f(x)在点 的邻域内有定义，如果当自变量x在点 处取得的改变量 时，函数相应的改变 量 即，则称函数f(x)点 处连续，称点 为连续点。,25,3.间断点的类型,第类间断点:左右极限都存在的间断点.其中,第类间断点：左右极限至少有一个不存在的间断点,26,注：一般而言，证明的命题用连续函数的第一个定义方便；判定函数在某点是否连续，尤其是分段函数在分段点处是否连续用定义2方便。,2.函数的间断点,27,4.连续函数的运算法则,也在点 处连续.,28,4.闭区间上连续函的性质,29,二、基本问题与解法,问题(一):求函数定义域,1.求由一个解析式解出的函数的定义域,运算依据:,30,运算方法：（1）根据滿足的条件列不等式（组）；（2）解不等式（组），借助数轴找各不等式解的公共部分即为函数的定义域（一般用区间表示）。,例1.求下列函数的定义域,31,2.已知 的定义域求 的定义域运算方法：将 视为x，由 的变化范围确定x的变化范围即为 的定义域.,32,33,运算方法：由 的定义域知道 的变化范围，再由 的变化范围求得 的变化范围即为 的定义域.,34,4.利用函数 的值域求其定义域,分析:先 求的表达式,再解不等式,35,问题(二)：求函数关系与函数表达式,1.已知 求 代入法,运算方法：将 中的 换成 并加以整理,2.已知 求,方法一：将 化为 的函数，,1.已知 求 代入法,36,再根据函数表示与自变量用什么字母表示无关的特性求得,方法二(变量代换法):令 求得 代入原,37,3.已知,4.已知 及 的表达式求,运算方法:变量代换,解方程组,38,4.求反函数的表达式 运算方法：（1）从y=f(x)中解岀（2）对换x,y的位置，即得反函数(3)y=f(x)的值域即为 的定义域.分段函数的反,39,函数要分段求，并同时确定各段反函数所定义的区间.,40,问题(三):求极限,1.有理分式的极限,41,2.无理式的极限,42,43,(1)利用重要极限求极限,特征：1）在某个变化过程中呈三角函数 型；2）正弦变量与分母变量相同且都趋于零.,1,2,44,注:满足第一特征可以考虑用重要极限;满足第二特征一定能够用重要极限;第三个特征告诉你怎么用.,45,46,例3.求下列极限,47,例4.求下列极限,48,(2).利用等价无穷小代替求极限,注:只有求无穷小比的极限时，才能考虑用等价无穷小代替，并且要对整个分子或整个分母（含无穷小的因式）或同时对分子、分母进行代替，乘除运算尽管用，加减运算不宜用。,49,常用的等价无穷小:当,50,例5.求下列极限,51,52,53,2)罗彼塔法则可連续地用，每用一次都要化简，充分利用极限四则运算法则、等价无穷小代替以及非零因子的极限先求出耒简化算式，检查发现不是未定式，就不要用罗彼塔法则。,3)使用罗彼塔法则过程中，出现循环现象、有常见极限不存在的情况(并非无穷大)就要改用它法。如果分子、分母求导后，算式俞趋复杂，就要按2)的方法处理。,例6.求下列极限,54,注:此处利用了极限运算法则,分子分母分别求导,(2)此题直接用罗比塔法则很麻烦，应先将极限存在的非零因子分离出耒先求其极限.,例7.求下列极限,55,（4）利用变量代换求极限通过线性变换、指数变换、三角变换、无理变换、加一减一、乘一除一、分解折项、倒代换等化为常规型,56,57,解:离散变量连续化,先转化为函数的极限,再用罗比塔法则,58,求一个函数的极限首先判定属于哪一种类型，如果不是公式型或常规型就要通过适当的变形变换化简使之能用上述方法求解。特别注意有非零因子的极限要先求;尽量要用等价无穷小代换化简;尽量利用极限运算法则分项求，或分子分母分别求。通常求一个函数的极限不是只用一种方法就能夠凑效，而是需要综合用各种方法包括利用微积分的有关知识才能解出。,求极限问题小结:,59,例10.求下列极限,60,61,62,63,问题(四):极限、连续问题中常数的确定,运算依据:,64,解:左边(分子有理化)=,65,运算依据:,66,67,问题(五):函数连续性的判定与间断点的识别,2.判定间断点的类型,找出函数的定义域,若点 无定义,则 为间断点;,若有定义,再看 是否为初等函数定义区间内的点,若,68,是,则为连续点;若不是,则看极限 是否存在,若不存在,则 为间断点;若存在,则看极限值是否等于函,数值,若,则 为连续点;若不相等,则,点 为间断点.最后根据间断点的定义判定其类型.,例1.判定下列函数在指定点是否连续?并指出间断点的类型,69,解:,70,71,72,问题(六):无穷大量与无穷小量的识别与比较,例1.设,73,(A)等价无穷小;(B),分析：因为,74,例2.当 时,下列四个无穷小量中,哪个是比其它三个更高阶的无穷小(),75,问题(七):函数简单性质的判定,例1.判定下列函数的奇偶性,76,(A)有上界无下界；（B）有下界无上界；,77,78,函数、极限、连续课后练习,79,80,81,10.计算下列极限,(A)单调函数；（B）无界函数；（C）有界函数；（D）以 为周期的函数,