几类不同增长的函数模型(一).ppt

Friday,October 27,2023,（一）,几类不同增长的函数模型,【教学重点】,【教学目标】,【教学难点】,课程目标,【教学手段】,多媒体电脑与投影仪,将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义,怎样选择数学模型分析解决实际问题.,借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对指数函数，对数函数以及幂函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性,在理想环境中,种群数量呈指数增长;在有限制的环境中,种群数量的增长将由指数增长转变为对数增长,并逐渐趋于稳定.那么,应如何选择不同的函数模型描述这些现象呢？,问题情景,问题情景,假如某公司每天向你投资10万元,共投资30天.公司要求你给他的回报是:第一天给公司1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共30天,你认为这样的交易对你有利吗？,阅读课本95 97页例1，边阅读边思考下面的问题：,【例1】假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案？,在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？,构建数学,探究一,投资天数、回报金额,解:设第x天所得回报是 y元，则,方案一：,方案二：,方案三：,在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？,探究一,上述的三个数学模型,第一个是常数函数,另两个都是递增的函数模型,你如何对三个方案作出选择？,方法1:我们来计算三种方案所得回报的增长情况：,探究二,请同学们对函数增长情况进行分析,方法是列表观察或作出图象观察.,根据表格中所提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？,三种方案每天回报表,底数为2 的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的函数有什么新的理解？,你能通过图象描述一下三种方案的特点吗？,方法2：我们来作出三种方案的三个函数的图象：,结论:投资16天,应选择方案一;投资7天,应选择方案一或二;投资810天,应选择方案二;投资11天(含11天)以上,则应选择方案三.,回报,天数,方案,累计回报表：,方案一,方案二,方案三,你30天内给公司的回报为:,0.01+0.012+0.0122+0.01229,300万元,解答:公司30天内为你的总投资为:,情景问题解答,假如某公司每天向你投资10万元,共投资30天.公司要求你给他的回报是:第一天给公司1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共30天,你认为这样的交易对你有利吗？,=10737418.231074(万元).,1074-300=774(万元).,实际应用问题,分析、联想抽象、转化,构建数学模型,解答数学问题,审 题,数学化,寻找解题思路,还原,(设),(列),(解),(答),解答例1的过程实际上就是建立函数模型的过程,建立函数模型的程序大概如下：,【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？,本问题涉及了哪几类函数模型？本问题的实质是什么？,一次函数模型,实质:分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，就是比较三个函数的增长情况,y=0.25x,y=log7 x+1,对数函数模型,指数函数模型,y=1.002x,探究一,销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励,且部门销售利润一般不会超过公司总的利润1000万元,所以销售利润x可用不等式表示为_.,依据这个模型进行奖励时,奖金不超过利润的25%,所以奖金y可用不等式表示为_.,依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元,所以奖金y可用不等式表示为_.,10 x1000,0y5,0y25%x,你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?,探究二,你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？,奖励模型符合公司要求就是依据这个模型进行奖励时,符合条件：(1)奖金总数不超过5万元；(2)奖金不超过利润的25%.,因此,在区间10,1000上,不妨作出三个函数模型的图象,通过观察函数的图象,得到初步的结论,再通过具体计算确认结果.,探究三,400,600,800,1000,1200,200,1,2,3,4,5,6,7,8,x,y,o,y=5,y=0.25x,探究四,通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？,探究四,通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？,对于模型y=0.25x,它在区间10,1000上递增,当x20时,y5,因此该模型不符合要求;,探究四,通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？,对于模型y=1.002x,它在区间10,1000上递增,观察图象并结合计算可知,当x806时,y5,因此该模型不符合要求.,探究四,通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？,对于模型y=log7x+1,它在区间10,1000上递增,观察图象并结合计算可知,当x=1000时,y=log71000+14.555,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.,按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？,解:当x10,1000时,要使y0.25x成立,令f(x)=log7x+1-0.25x,当x10,1000时是否有f(x)0恒成立?,即当x10,1000时,f(x)=log7x+10.25x的图象是否在x轴下方?,作f(x)=log7x+1-0.25x的图象如下：,只需log7x+10.25x 成立，,即log7x+1-0.25x 0.,探究五,根据图象观察,f(x)=log7x+1-0.25x的图象在区间10,1000内的确在x轴的下方.,这说明,按模型y=log7x+1奖励,奖金不会超过利润的25%.,由图象知 f(x)在10,1000上为减函数.,说明当x10,1000时,有,.,另解:作出f(x)的图象(利用计算机).,综上按对数函数模型奖励符合公司提出的要求.,按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？,探究五,即奖金不会超过利润的25%.,从以上两个例子，我们看到对数函数，指数函数和幂函数在第一区间的增长是有差异的，下面用几何画板来观察它们的差异,探究六,问题情景,对数函数y=logax(a1),幂函数y=xn(n0)与指数函数y=ax(a 1)在区间(0,+)上都是增函数,但它们的增长是有差异的.那么这种差异的具体情况到底是怎样呢?,以函数y=2x,y=log2x,y=x2为例.,探究一,制作函数值表(借助计算器制表).,观察表格,三个函数的增长速度是不同的.,总体来讲随着x的增大,y=log2x的增长速度最慢;y=2x和y=x2的增长速度有变化,一开始,y=2x的增长速度快,后来y=x2增长速度快.,y=log2x,y=x2,y=2x,探究一,画函数图象(描点或借助计算机作图).,观察图象可以看出:三个函数的增长速度是不同的,你能根据图象分别标出不等式log2x2xx2和 log2xx22x成立的x的取值范？,(1)04时,(2)2 x 4时,2,4,问题(1)如何求函数 在(0,+)的零点?,观察函数y=2x 与 y=x2之间的增长情况,探究二,观察函数y=2x 与 y=x2之间的增长情况,从函数图象可以看出,y=2x与y=x2的图象有两个交点,表明2x与x2在自变量的不同的区间有不同的大小关系,有时2xx2,有时2xx2但当x越来越大时,2x的增长速度远快于x2.,问题(2)观察图象,试求出可使下列不等式成立的x的取值范围.,(1)04时,(2)2x4时,探究二,答:在区间(0,+)上,尽管对数函数y=logax(a1),指数函数y=ax(a 1)与幂函数y=xn(n0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.,随着x的增大,y=ax(a 1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度,而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢.因此总存在一个x0,当 x x0时,就会有,3.幂函数，指数函数，对数函数增长速度的一般结论,结论1:的增长快于 的增长，所以存在一个，使x 时,有.结论2:的增长快于 的增长，所以存在一个，使x 时,有.结论3：在区间（0，+）上，函数(a1）（a1),(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同。随着x的增大(a1）的增长速度越来越快，远远大于（n0)的增长速度，而(a1)的增长速度则越来越慢，因此，会存在一个，当 时，有,探究以函数 为例.,思考:你能用同样的方法,讨论函数y=logax(0a1),y=ax(0a1)与幂函数y=xn(n0)在区间(0,+)上衰减情况吗?,结论:在区间(0,+)上,尽管对数函数y=logax(0a1),y=ax(0a1)与y=xn(n0)都是减函数,但它们的衰减速度不同,而且不在同一个“档次”上.,随着x的增大,y=logax(0a1)的衰减速度越来越快,会超过并远远大于y=ax(0a1)的衰减速度,而y=xn(n0)的衰减速度则会越来越慢.因此总存在一个x0,当 x x0时,就会有,3.你能用同样的方法,讨论函数y=logax(0a1),y=ax(0a1)与幂函数y=xn(n0)在区间(0,+)上衰减情况吗?,【1】四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表：,1.005,1.0151,1.0461,1.1407,1.4295,2.3107,5,155,130,105,80,55,30,5,33733,1758.2,94.478,5,4505,3130,2005,1130,505,130,5,30,25,20,15,10,5,0,关于x呈指数型函数变化的变量是_.,(练习P.981),练一练,练一练,【2】某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机.现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？(练习P.982),2.答案:第5轮病毒发作时最多会有160万台被感染,练习P.981，2,1.答案：y2,练一练,课堂小结,确定函数模型,利用数据表格、函数图象讨论模型,体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义,布置作业,(1)课本P.39A 5,(2)学案P.27-28,P.39 2,探究创新,再见,山东省临沂一中,例2、,探究：公司有哪些要求，你能用 数学语言表达出来吗？,某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%现有三个奖励模型：问：其中哪个模型能符合公司的要求？,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求。,对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%,一方面：,另一方面：,1一个法国的儿童谜语说：假定你有一个生长着一朵水百合花的池塘。这种百合属植物体积每天按2倍速度生长。如 果允许这种百合属植物不受限制地生长，在30天里就会完全覆 盖住这个池塘，闷死水中的其他生命形式。究竟要 天它覆盖住这池塘的一半？,2在同一个平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较他们的增长情况。,练习,29,这节课你学到了什么？,