几种数值积分算法的误差分析.ppt

几种数值积分方法的误差理论总结及讨论,学生：于欣蕊指导教师：任文秀,课程设计的基本思路,本课程设计通过总结与比较各类数值积分方法及列出具体算例，通过余项、代数精度等比较各种方法的异同。在我们解题时，用一些方法只能解决很狭隘的一部分积分，在它的范围外通常采用各种近似计算的方法。在近似计算过程中，肯定会产生误差，我们必须想办法使得产生的误差尽可能的小。因此，一个好的数值求积公式应该满足：计算简单、误差小、代数精度高并且稳定。为了提高运算速度和准确性，我们要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论识，从而使运算速度更快、更准。,一、几种数值积分的算法,1、Newton-Cotes求积公式,2、复化求积公式,（1）梯形公式（n=1）,（2）Simpson（辛普森）公式（n=2）,（3）Cotes公式（n=4）,（1）复化梯形求积公式,（2）复化Simpton求积公式,（3）复化Cotes求积公式,3、龙贝格求积公式,4、高斯求积公式,（1）高斯-勒让德求积公式,（2）高斯-切比雪夫求积公式,（3）高斯-拉盖尔求积公式,，,（4）高斯-埃尔米特求积公式,二、数值积分方法的误差比较及算例,1、Newton-Cotes求积公式的误差分析,（1）梯形公式的截断误差,（2）辛普森公式截断误差,（3）柯特斯公式截断误差,小结：Simpson公式的插值节点只比梯形公式多一个，但其代数精确度却比梯形公式高2，它们都是最为常用的数值积分公式，尤其是Simpson公式逻辑结构简单，且精度又比较高.,2、复化求积公式的误差分析,（1）复化梯形公式的截断误差,（2）复化辛普森公式的截断误差,（3）复化Cotes公式的截断误差,收敛速度一个比一个快，一个比一个准确.,小结：1、,2、在使用函数值个数相等的情况下，,精度逐渐升高.,3、龙贝格求积公式的误差分析,龙贝格求积公式是具有8阶精度的算法，收敛且稳定,比 收敛的快.余项为：,Romberg积分法高速有效，易于编程，适合于计算机计算.但它有一个主要的缺点是，每当把区间对分后，就要对被积函数 计算它在,新分点处的值，而这些函数值的个数是成倍的增加的.,4、高斯求积公式的误差分析,高斯型求积公式代数精度比牛顿柯特斯代数精度高，当,时牛顿-柯特斯求积公式出现不稳定现象而高斯型求积公式总是稳定,的.高斯求积公式的代数精度高达8，是具有最高代数精度的插值型求,积公式.,高斯求积公式可分为带权求积公式和不带权求积公式两大类.由插值余项,知插值型求积公式的代数精度,，另一方面，若取,则有,说明插值型求积公式的代数精度不可能达到,不可能低于,高斯型求积公式,是具有最高阶代数精度的求积公式.,总结,通过理论分析和比较可以得出以下结论:一般来说,Newton-Cotes方法的代数精度越高,数值积分的效果越好;当积分区间较大时 候,可以采用复化积分方法可以得到较好的效果;Romberg 积方法可以更好得到的积分序列得到更为精确的数值结果,是一个较好的数值积分方法.,谢谢老师的指导！,同学的帮助！,