高阶导数与高阶微分讲解.ppt

2023/10/27,1,第八节 高阶导数与高阶微分,一、高阶导数的定义,二、高阶导数求法举例,三、高阶微分,2023/10/27,2,一、高阶导数的定义,问题:变速直线运动的加速度.,定义,记作,2023/10/27,3,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,2023/10/27,4,二、高阶导数求法举例,例1,解,1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,2023/10/27,5,例2,解,同理可得,2023/10/27,6,例3,解,同理可得,2023/10/27,7,例4,解,特别地,2023/10/27,8,例5,解,注意,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明),2023/10/27,9,例6,解,2023/10/27,10,2.高阶导数的运算法则:,莱布尼兹公式,2023/10/27,11,例7,解,2023/10/27,12,3.间接法,常用高阶导数公式,利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.,2023/10/27,13,例8,解,2023/10/27,14,例1,解,隐函数的高阶导数,用复合函数求导法则,直接对方程两边对x逐次求导,(y是x的函数),最后解出y的高阶导数.,2023/10/27,15,2023/10/27,16,例2,解,2023/10/27,17,参数方程的高阶导数,2023/10/27,18,例1,解,2023/10/27,19,2023/10/27,20,例3,设 连续，,求.,不一定存在,故用定义求,解,2023/10/27,21,2023/10/27,22,例3,例4,2023/10/27,23,例5,2023/10/27,24,一阶微分的定义,三 高阶微分,2023/10/27,25,若 可微时，称它的微分,为y 的二阶微分，记为.当 可微时，,一般地，当 y 的 n-1 阶微分 可微时，,为 y 的三阶微分，记为,称它的微分,二阶微分：,n阶微分：称n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作,高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。,1 高阶微分的定义,2023/10/27,26,2.高阶微分的求法,用同样的方法，得,这里 dx 的是x处的产生的增量,与变量x无关,视作常数,即 y 的 n 阶微分等于它的 n 阶导数乘上自变量的微分,的 n 次方.,2023/10/27,27,但对于复合函数我们就不能得出这一公式,这时才回能到前面导出的公式,这里 当u的是自变量x时,这事实也说明高阶导数不具有形式不变性,所以,2023/10/27,28,对于复合函数我们就不能得出,注意这里记号,如n=2时,应有,表示不同含义,不能混淆.,2023/10/27,29,例1,求 的二阶微分.,解:,所以,若把 看成是由 复合而成的函数，,则,所以,且,2023/10/27,30,例2 设 分别依公式（1）、（2）求,解 由 得 依公式（1）得 类似地，依公式（2）得,2023/10/27,31,三、小结,高阶导数的定义及物理意义;,高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);,n阶导数的求法：1.直接法;2.间接法.,