高等数学讲义第六章定积分及其应用.ppt

第六章 定积分及其应用,1.定积分概念,定积分定义的引入,问题1.变速直线运动的路程,2为了计算和应用方便，规定,定积分的存在定理和定积分的性质,当 f(x)在a,b上定积分存在时，称 f(x)在a,b上可积，在什么条件下函数 f(x)在a,b上可积呢？,1定积分与积分变量无关,3）定积分的性质,设 f(x)在a,b上连续，则 f(x)在a,b上可积。,2）定积分的几何意义:,1）定理（定积分存在定理）,定积分中值定理的几何意义：在a,b内至少有一点，使得以a,b为底，f()为高的矩形面积，等于以a,b为底的曲边梯形的面积。,2.微积分基本公式,由定积分的定义来计算定积分的值是很困难的，是否存在更为简便的方法呢？,先引入变上限函数及其求导定理,公式（*）称为牛顿-莱伯尼兹公式，又称为微积分基本公式。,3.定积分计算法,1.定积分换元积分法,定积分换元法在作变量代换时，需同时改变相应的上、下限，但不必代回原变量。,2.定积分的分部积分法,由不定积分的分部积分公式，可得,4.定积分的近似计算,如果能近似地计算出曲边梯形的面积，那么面积的近似值就可作为定积分的近似值。,把曲边梯形分成若干小块，然后再用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积。,矩形法,梯形法,把曲边梯形分成若干小块，然后用小梯形面积来代替小曲边梯形的面积。,矩形法和梯形法的基本思想都是在各小段上以直线代替曲线,为了提高精度，可用曲线来代替曲线。,5.广义积分以及广义积分敛散性的判定,1.无穷区间上的广义积分,被积函数有无穷间断点的广义积分,广义积分敛散性的判定,1）无穷区间上广义积分敛散性的判别法,2）被积函数有无穷间断点的广义积分的敛散性判别法,6.定积分的元素法及其应用,在定积分存在的条件下，可将定积分简化为两个步骤,这种方法称为定积分的元素法,定积分的元素法,平面图形的面积,(1)直角坐标系,(2)极坐标系,如果用垂直于 0 x 轴的平面去截立体所得截面面积是 x的连续函数 s(x),xa,b，那么该立体的体积可用元素法求得：,平行截面面积为已知的立体体积,思考：该图形绕Y轴旋转的旋转体体积,平面曲线的弧长,1)直角坐标系,2)参数方程表示的曲线,3)极坐标系,例12.设有一横截面为等腰梯形的蓄水池，梯形上底为6米，下底为4米，高为2米，水池的长为8米，蓄满了水，现要把水池中全部的水抽到距水面20米高的水塔，问需要作多少功？,定积分的元素法在物理学中常可用来计算变力沿直线所作的功，水压力及引力等。,5.物理应用,第六章 重点复习题,10.求抛物线 y=-x2+4x-3及其在点(0,-3)和点(3,0)处的切线所围成的图形面积.,11.求曲线 y=ex,y 轴及曲线在(1,e)处的切线所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积.,