高等数学第7章教案.ppt

1一阶微分方程2可降阶的二阶微分方程3二阶线性微分方程的解的结构4二阶常系数线性微分方程,一、本章要点,1一阶微分方程,1)可分离变量的微分方程,解法,类型,2)一阶线性微分方程,类型,解法,3)齐次方程,此为变量可分离的微分方程,类型,解法 令，则 原方程变为,4)伯努利方程,为一阶线性微分方程,类型,解法 令，则原方程变为,2可降阶的二阶微分方程,方法 作 次积分,新方程是一个一阶微分方程,1)类型,2)类型,方法 令，则原方程转变为,新方程是一个一阶微分方程,3)类型,方法 令，则原方程转变为,3二阶线性微分方程的解的结构,设二阶线性微分方程,而称方程,为方程所对应的齐次线性方程有,1)若 是方程的线性无关解，则方程有通解,的一个特解,2)若 是方程的特解，则方程有通解,3)若 是方程 的特解，,则 为方程,4二阶常系数线性微分方程,1)二阶常系齐次数线性微分方程,设方程,相应的特征方程为,则：若方程有两个不同的实根，则方程的通解为,若方程有两个相同的实根，则方程的通解为,若方程有一对共轭复根，则方程的通,解为,2)二阶常系数非齐次线性微分方程,设方程为,则方程有特解,其中 是一个与 同次的多项式，而,设方程,则方程有特解,其中 是 次的多项式，而,按 是否为特征方程的根而分别取1或0,二、例 题 选 讲,解 此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量，,因,得,例1 求解方程,两边积分，得,即得原方程的通解,解 原方程变形后为齐次方程,例2 求解方程，,作变换，则有,移项，得,两边积分，得,将 代入，有,即满足初始条件的解为,由初始条件，得，即原方程的解为,解 原方程变形为,即,例3 求微分方程 的通解,此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微分方程，,由求解公式得,根据线性方程求解公式，得该方程的通解为,例4 求解方程,解 令，则原式为,此方程为贝努利方程，再作变换，则有方程,从而得到原方程的通解,解 由方程组,例5 求解方程,得解，作变换，,则原方程为,相应的通解为,令，则有,将，代入上式，得原方程的通解为,例6 在上半平面求一条向上凹的曲线，其任一点,处的曲率等于此曲线在该点的法线段 长度的倒数(是法,线与 轴的交点)，且曲线在点 处的切线与 轴平行,解 设所求曲线为，则点 处的曲率为,(因曲线是向上凹的，故),曲线 在点 处的法线方程为,它与 轴的交点 的坐标为，于是,由题设，即,方程的通解为,由此得，这是不显含 的方程初始条件为,，令 得，于是原方,程变成,由初始条件得，即得,积分得,即,再由初始条件得 故所求曲线为,证 原方程变形为,两端求导，得,例7 设在 时所定义的可微函数 满足条件,求；,证明：当 时 满足不等式,即,令，则原方程化为,由条件所设，即，方程两,端积分，并由初始条件，得,函数 在 上满足拉格郎日中值定理的条件，,因此,从而有，故当 时，；又当,时，令，则,所以 当 时单调增加，于是,即 综合以上得，当 时，有,分离变量，得,两边积分，得,例8 求解微分方程,解法1 此方程为齐次方程，作代换，则有,故方程的通解为,即,由于,解法2 方程变形为,故方程的通解为,代回原变量，得,此方程为贝努利方程，此时令，则有,例9 求解下列方程,即,方程的解为,1.；2.,解 1.此方程不含变量，故令变换，则方程为,即,所以，方程的通解为,方程变形为,即有,2.此方程中不含变量，作变换，则,解得,即,分离变量后，再两边积分得,从而得方程的通解,由，得方程的解为 由,例10 求解下面的初值问题,方程化为,解 令，则,分离变量，两边积分，得,解得,由条件得，解得，即得,分离变量，得,两边积分，得,由条件，得，由此得方程的特解为,例11 求下列方程的通解,解 1.特征方程为,解得，由此得到方程的通解,1.；2.；,3.,则,2.特征方程为，因而齐次方程的通解为,由于 为单根，故可设方程的特解为,代入方程后，比较系数得,所以,因而方程的通解为,代入到原方程，得,3.特征方程为，解得，所以齐次方,程的通解为,注意到 不是特征方程的根，故方程的特解可,设为,比较系数，得,故原方程的通解为,解 方程对应的特征方程为,例12 求解方程,方程的解为，所以齐次方程的通解为,对方程，设方程有解,代入方程，得,最后考虑方程，假设方程有解,比较系数，得，即,代入方程，得，即,从而方程的通解为,两边求导，得,两边再次求导，得,例13 设，其中,为连续函数，求,解 因，,即,设非齐次方程的特解是,其初始条件为，对应的齐次方程的,通解是,代入方程，得，即原方程的通解为,由初始条件，得，从而,一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数,例14 小船从河边点 出发驶向对岸(两岸为平行线)，设,船速为 船行方向始终与河岸垂直又设河宽为，河中任,为)，求小船的航行路线,解 如图建立坐标系统，并使水流方向与 的正向一,致设时刻 时，小船位于,处，则,其初始条件为,先解得，再由初始条件得，即,代入到第一个方程中，即有,解得,再由初始条件，得 即小船的航行曲线为,或消去参数，得,三、练 习,1求下列方程的通解：,1)；,2)；,3)；,4)；,5),2设 是连续函数，且满足,求,3求解下列微分方程：,1)；,2),5求解下列微分方程：,4求下面初值问题的解：,1)；,4)；,2)；,3)；,5),6设 为连续函数,且满足方程,求,7已知光滑曲线 过原点和点，任取曲线上的点,，过 作两坐标轴的平行线 和 与 轴及,曲线所围成的面积等于 与 轴及曲线围成的面积的2倍,求,曲线的方程,8一长度为 的均匀链条放置在一个水平面无摩擦力的,桌面上,滑动开始时,链条在桌边挂下来的长度为 问链条,全部滑离桌面需要多少时间?,