高等数学极限运算法则课件.ppt

1,第一章,二、极限的四则运算法则,三、复合函数的极限运算法则,一、无穷小运算法则,第五节,极限运算法则,2,时,有,一、无穷小运算法则,定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.,证:考虑两个无穷小的和.,设,当,时,有,当,时,有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量.,3,说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!,例如，,类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.,4,证:设,又设,即,当,时,有,取,则当,时,就有,故,即,是,时的无穷小.,推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.,定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小,5,解:,利用定理 2 可知,例.求,6,定理3,证,(1),二、极限的四则运算法则,7,即常数因子可以提到极限符号外面.,由无穷小运算法则,得,(2),的特例是,8,定理4,那么,如果,9,定理5,证,由定理1(1),由保号性定理,即,故,有,有,10,注意,应用四则运算法则时,要注意条件:,参加运算的是有限个函数,它们的极限都,商的极限要求分母的极限不为0.,不要随便参加运算,因为,不是数,它是,表示函数的一种性态.,存在,11,解,例1,求极限方法举例,12,小 结,则有,则有,13,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,例2,得,14,解,例3,消去零因子法,再求极限.,方 法,分子,分母的极限都是零.,先约去不为零的无穷小因子,15,例4,解,无穷小因子分出法,分子,分母的极限均为无穷大.,方 法,先用,去除分子分母,分出无穷小,再求极限.,先将分子、分母同除以x 的最高次幂,无穷小分出法,以分出,再求极限.,求有理函数当,的极限时,无穷小,16,小 结,例5,解,17,例6,解,先作恒等变形,和式的项数随着n在变化,再求极限.,使和式的项数固定,原式=,不能用运算法则.,方 法,18,例7,解,不满足每一项极限都存在的条件,不能直接,应用四则运算法则.,分子有理化,19,练习,解,原式=,(2)求,20,设函数,是由函数,与函数,复合而成,有定义,若,且存在,有,则,定理5,(复合函数的极限运算法则),例8,求极限:,解,可看作,与,复合而成.,并且,因而,21,1.极限的四则运算法则及其推论;,2.极限求法:,对某些不能直接利用四则运算法则的极限,有时可采用下述方法:,(1)利用无穷小与无穷大互为倒数的关系;,(2)利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质;,(4)无穷小因子分出法;,(3)消去零因子法;,三、小结,22,(6)直接利用无穷大的概念判断;,(5)根式转移法;,(7)利用左右极限求分段函数极限.,为了对求极限的方法有全面的了解,指出,(8)利用夹逼定理;,(9)利用连续函数的性质;,(10)利用等价无穷小代换;,(11)利用未定式求极限法.,还有下述方法:,23,思考题,在某个过程中，若 有极限，无极限，那么 是否有极限？,解答,没有极限,假设,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,有极限，,为什么？,(1),24,试确定常数,解,令,则,使,即,(2),25,1.极限运算法则,(1)无穷小运算法则,(2)极限四则运算法则,(3)复合函数极限运算法则,注意使用条件,2.求函数极限的方法,(1)分式函数极限求法,时,用代入法,(分母不为 0),时,对,型,约去公因子,时,分子分母同除最高次幂,“抓大头”,(2)复合函数极限求法,设中间变量,内容小结,26,思考及练习,1.,是否存在?为什么?,答:不存在.,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在,与已知,条件矛盾.,解:,原式,2.,问,27,解,原式=,3.求,