高等数学方明亮34函数的单调性与曲线的凹凸性.ppt

2023年10月27日星期五,1,第四节 函数的单调性 与曲线的凹凸性,第三章,三、小结与思考练习,二、函数的凹凸性及拐点,一、函数单调性的判定法,（Monotonicity of Function&Concavity and Convexity of Curve）,2023年10月27日星期五,2,一、函数单调性的判定法,2023年10月27日星期五,3,1.利用导数来判定函数的单调性,2023年10月27日星期五,4,解：,单调区间为,2023年10月27日星期五,5,基本步骤：,（1）确定定义区间；,（2）求函数f(x)的导数；,（3）找出驻点（导数为零的点）和导数不存在点；,（4）以驻点和导数不存在点为分界点，把定义区间分成若干个小区间，并讨论在这些小区间上，导数的符号，进而确定单调区间。,2023年10月27日星期五,6,2.利用导数来证明不等式,证明：,令,则,2023年10月27日星期五,7,3.利用导数来证明方程根的唯一性,提示：,令,2023年10月27日星期五,8,二、函数的凹凸性及拐点,（Inflection Point）,1、曲线凹凸的定义,显然，曲线AB与BC 都是单调增加的，,但它们单调,增加的变化方式却有所不同。,这说明：,仅靠单调性来,描述曲线的性态是不够的。,为此，我们有必要研究一下曲线的弯曲方向问题。,2023年10月27日星期五,9,图形上任意弧段都位于所张弦的下方,于是上式变为,2023年10月27日星期五,10,直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的，,下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性,2023年10月27日星期五,11,2、曲线凹凸性的判定,（证明略）,2023年10月27日星期五,12,3、拐点的定义,2023年10月27日星期五,13,解：,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,2023年10月27日星期五,14,4、利用凹凸性来证明一些不等式,本题思路：,2023年10月27日星期五,15,1.函数单调性的判别法（定理1）,内容小结,（1）会利用导数来判定函数的单调性,（2）会利用导数来证明一些不等式,（3）利用导数来证明方程根的唯一性,2.函数凹凸性的定义,3.函数凹凸性的判别定理（定理2）,（1）拐点的定义（会求拐点和凹凸区间）,（2）会利用凹凸性来证明一些不等式,2023年10月27日星期五,16,习题3-4 1；3（2）（4）；5（奇数题）；6；8,课后练习,思考练习,答案：,不能断定.,例如，,2023年10月27日星期五,17,但,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内，都不单调递增,2023年10月27日星期五,18,2023年10月27日星期五,19,考研真题,提示：,2023年10月27日星期五,20,提示：,