高等数学傅立叶级数.ppt

【重、难点】,【授课时数】,【学习目标】,总时数：4学时.,难点：正确求解函数的傅立叶级数，由实例讲解方法。,1、知道傅立叶级数的概念和傅立叶级数的复数形式；2、会将周期分别为、的函数展开成傅立叶级数；3、会求定义在 上的函数作奇（偶）延拓后的傅立叶级数。,重点：傅立叶级数的概念，周期为 的函数展开成傅立叶级数，由一类特殊级数引出。,非正弦周期函数:矩形波,不同频率正弦波逐个叠加,一、问题的提出,二、三角级数,1.三角函数系的正交性,三角函数系,三角函数系的正交性,相关知识，三角函数的积化和差公式,2.三角级数,谐波分析,这样的,定义,形如,级数叫做三角级数.,问题:,(1)若能展开成三角级数,是什么?,(2)展开的条件是什么?,1.傅里叶系数,三、函数展开成傅里叶级数,傅里叶系数,2.傅里叶级数,定义,形如,这样的,级数叫做傅立叶级数.,傅立叶级数收敛定理,3.周期为2的函数的傅里叶级数,解,所给函数满足傅立叶级数条收敛件.,和函数图象为,所求函数的傅氏展开式为,解,如图所示，由傅立叶系数公式，得,所求函数的傅氏展开式为,解,所给函数满足收敛定理的条件.,和函数图象,观察两函数图形,播放,1.三角级数,2.傅里叶系数,3.傅立叶级数,4.周期为2的函数的傅氏展开式,5.傅氏级数的意义整体逼近,小结,1.三角级数,2.傅里叶系数,3.傅立叶级数,4.周期为2的函数的傅氏展开式,5.傅氏级数的意义整体逼近,小结,1.三角级数,2.傅里叶系数,3.傅立叶级数,4.周期为2的函数的傅氏展开式,5.傅氏级数的意义整体逼近,小结,1.三角级数,2.傅里叶系数,3.傅立叶级数,4.周期为2的函数的傅氏展开式,5.傅氏级数的意义整体逼近,小结,1.三角级数,2.傅里叶系数,3.傅立叶级数,4.周期为2的函数的傅氏展开式,5.傅氏级数的意义整体逼近,小结,1.三角级数,2.傅里叶系数,3.傅立叶级数,4.周期为2的函数的傅氏展开式,5.傅氏级数的意义整体逼近,小结,1.三角级数,2.傅里叶系数,3.傅立叶级数,4.周期为2的函数的傅氏展开式,5.傅氏级数的意义整体逼近,小结,1.三角级数,2.傅里叶系数,3.傅立叶级数,4.周期为2的函数的傅氏展开式,5.傅氏级数的意义整体逼近,小结,1.三角级数,2.傅里叶系数,3.傅立叶级数,4.周期为2的函数的傅氏展开式,5.傅氏级数的意义整体逼近,小结,1.三角级数,2.傅里叶系数,3.傅立叶级数,4.周期为2的函数的傅氏展开式,5.傅氏级数的意义整体逼近,小结,1.三角级数,2.傅里叶系数,3.傅立叶级数,4.周期为2的函数的傅氏展开式,5.傅氏级数的意义整体逼近,小结,1.三角级数,2.傅里叶系数,3.傅立叶级数,4.周期为2的函数的傅氏展开式,5.傅氏级数的意义整体逼近,小结,1.三角级数,2.傅里叶系数,3.傅立叶级数,4.周期为2的函数的傅氏展开式,5.傅氏级数的意义整体逼近,小结,1.三角级数,2.傅里叶系数,3.傅立叶级数,4.周期为2的函数的傅氏展开式,5.傅氏级数的意义整体逼近,小结,1.三角级数,2.傅里叶系数,3.傅立叶级数,4.周期为2的函数的傅氏展开式,5.傅氏级数的意义整体逼近,小结,思考题,思考题解答,解,所给函数满足收敛定理的条件.,和函数图象为,定理,代入下面傅氏级数中,4.周期为 的函数的傅里叶级数,例1中的函数是奇函数，它的展开式中只有正弦项，,而例2中的函数是偶函数，它的展开式中只有常数项和,余弦项，一般地，有下面的结论：,那么有,那么有,定理,奇（或偶）函数的傅立叶级数,解,解,函数满足收敛定理的条件,在整个数轴上连续.,5.非周期函数的周期性延拓,则有如下两种情况,奇延拓:,偶延拓:,解,(1)求正弦级数.,(2)求余弦级数.,解,以2L为周期的函数的傅里叶级数为,四、复数形式的标准形式,代入欧拉公式,于是有,傅里叶系数的复数形式,傅里叶级数的复数形式,的物理意义:,正好是n 次谐波的振幅,的一半，即,解,2.非周期函数的周期性延拓,3.傅氏级数的复数形式,1.以2l为周期的傅氏系数,小结,(正弦级数和余弦级数),(奇延拓和偶延拓),解,（一）P128习题8.3；（二）P130习题8.4.,通过本课题学习，学生应该达到：1、会将周期分别为、的函数展开成傅立叶级数；2、会求定义在 上的函数作奇（偶）延拓后的傅立叶级数。,【授课小结】,【课后练习】,