高数课件68多元函数的极值.ppt

第八节 多元函数的极值,一、问题的提出,二、多元函数的极值和最值,三、条件极值拉格朗日乘数法,实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值.,一、问题的提出,二、多元函数的极值和最值 1、二元函数极值的定义,极值点必须是函数定义域的内点.,(1),例如1,(2),(3),2、多元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,注意：有偏导数的函数极值点必为驻点；,但驻点未必是极值点.,极值可疑点：驻点或一阶偏导数不存在的点.,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,极值点也可能是一阶偏导不存在的点.,定理2（充分条件）,3、多元函数的最值,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,设函数 z=f(x,y)在闭区域 D 上连续,则函数在 D 上必有最大值和最小值.,z=f(x,y)的最值既可在 D 的内点处取得,也可在 D 的边界点处取得.,设函数 z=f(x,y)在闭区域 D 上连续、可微,且只有有限个极值点,若最值在 D 内取得,则最值点必是极值点.,求出函数在 D 内的所有驻点、不可求偏导的点处的函数值和在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，这些值中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,求最值的一般方法：,解,如图,先求函数在D内的驻点,求实际问题中，由问题的实际意义可知函数 f(x,y)有最值，且在 D 内只有唯一的驻点，则该驻点的函数值就是所求的最大值或最小值.,三、条件极值拉格朗日乘子法,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,条件极值：对自变量有附加条件的极值,拉格朗日乘子法,拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个或约束条件有多个的情况：,解,则,解,可得,即,可得,即,课后练习：,多元函数的极值,条件极值与拉格朗日乘数法,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,四、小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,