高数不定积分.ppt

,第一节 不定积分的概念与性质,本节要点,本节通过原函数引出了不定积分的概念,并得到不定,一、原函数与不定积分,二、不定积分的计算,积分的简单性质.,一、原函数和不定积分的概念,1.原函数,在第二章中曾提出对已知 求 的,求导问题,而现在的问题是:,的 这类问题就是求原函数问题.,若,已知,求满足,即对任一 都有,定义3.1 如果在区间 内的可导函数 的导函数为,或,则称函数 为 在区间 内的一个原函数.,例如 函数 的一个原函数为,又如,这是因为,故,的原函数为,我们知道,对函数而言,如果导函数存在的话,导函,数是唯一的,但某个函数的原函数是否唯一呢？为此,先引入:,间 内存在可导函数 使得对任一 都有,即连续函数一定存在原函数.,如果 是 的原函数,则,的原函数.,其中 为任意常数;并且 的原函数,一定可写成 的形式.,原函数存在定理,如果函数 在区间内连续,则在区,也是,2.不定积分,由上面的讨论,可得到如下定义:,定义3.2 在区间 内,函数 的带有任意常数的原函,数称为 在区间 内的不定积分,记作,由此定义知,若 是 的一个原函数,则,的不定积分为,可见,要计算函数的不定积分,只需找出它的一个原函,数即可.,例3.1 容易得到下面的不定积分:,注1 在不定积分表达式中最后的常数 不能漏掉.,注2 如果不计任意常数，不定积分运算与求导运算,是互逆的因为，由定义可知,二、基本积分公式,由原函数的定义,以及求导公式,可以得到下面这些,基本积分公式.,例3.2 求,解,倒数关系,例3.3 求,解,例3.4 求,解,三、不定积分的性质和应用举例,由原函数与不定积分的定义不难得到如下不定积分的,性质:,不定积分的性质,性质1,两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数,的不定积分的和（差）,即,（3.1）,性质2,求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可,以提到积分号外面来,即,（3.2）,例3.5 求积分,解 先将 展开,然后再利用积分公式及运算法,则,得,例3.6 求积分,解,例3.7 求积分,解,例3.8 求积分,解 将被积函数拆成两项的和,可得,例3.9 求积分,解 分子部分减1加1后,得,例3.10 求积分,解 利用三角公式,得,例3.11 求积分,解 利用半角公式,得,例3.12 求积分,解 由三角公式,得,例3.13 求积分,解 由倍角公式,得,例3.14 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜,解 设此曲线的方程为 由题设得关系,即,是 的一个原函数,因 且曲,率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.,线过(1,2),代入曲线方程得 故所求曲线的方程为,对本例说明:函数 的原函数的图形称为 积分,曲线.当常数 取不同值时,曲线间是平行的.因而可,通过某条积分曲线的平移得到所求曲线.,例3.15 以初速 将质点铅直上抛,不计阻力,求其运动,规律.,解 所谓运动规律,是指质点的位置关于时间 的函数,关系,为此建立坐标系统如下:,把质点所在的铅直线取作,轴,方向向上,轴与地面的交点取作坐标原点.,开始时刻为 此时质点所在的位置的坐标,为 在时刻 时质点的坐标为,所求函数为,设运动,由导数的物理意义知道,而在时刻 时该质点的加速度为,因此,由此得,由初始条件:,再由,得,再由假设条件:,所以运动规,律为:,