高数全微分方程.ppt

第五节 全微分方程,显然全微分方程（1）的隐式通解为,例 1 求解,解,所给方程是全微分方程。,取、，有,所以，方程的通解为,例 2 求解,解,由,将方程两端同乘以，则化为全微分方程,知 是一个积分因子。,即,即 y=C x。,例 3 求微分方程 的通解。,解,取积分因子,原方程化为全微分方程,取、,即得微分方程的通解为：,补充,(1),解:,显然该方程不是全微分方程,但,所以该微分方程有积分因子:,两边积分得:,或,补充,熟记一些简单常用的二元函数的全微分，如,解:,显然该方程不是全微分方程.将原方程改写为:,又,取积分因子,则方程化为:,两边积分的方程的通解为:,补充,例 6 求微分方程 的通解。,解,它不是全微分方程。,重新组合得：,两边积分得：,即方程的通解为:,补充,第七节 可降阶的高阶微分方程,一、型的微分方程,例 1 求微分方程 的通解。,解,这就是所求的通解。,对所给方程积分三次得,二、型的微分方程(不显含 y),对应的微分方程 就成为一个关于变量 x、p 的一阶微分方程,设其通解为,则又得到一个一阶微分方程,两端积分便得原方程的通解为,例 2 求解初值问题:,解,令,两边积分得,两端再积分得:,于是所求的特解为,即,分离变量后，有,代入方程得,例 3 悬链线的方程（将一均匀、柔软的 绳索两端固定，绳索仅受重力作用而下垂，达平衡状态时即为悬链线）。,解,设绳索曲线的方程为 y=y(x),将两式相除得,又由弧长公式,令，代入方程（*）并分离变量得,所以，悬链线方程为,三、型的微分方程(不显含 x),令,则,分离变量并积分，便得原方程的通解为,例 4 求微分方程 的通解.,解,代入原方程得,令,则,两端积分得,原方程的通解为,分离变量得：,两端积分得,显然,y=C 也在通解中.,练习：P366 1（5）(7)（10）,解（10）：,小结：,1.全微分方程、积分因子,2.型的微分方程,3.型的微分方程,4.型的微分方程,