高二数学对称问题课件.ppt
对称问题,一.中心对称(关于点的对称),(一）点关于点的对称 点P1(x1,y1)关于点M(m,n)对称的点P2为(2m-x1,2n-y1);特别地,P(x,y)关于原点(0,0)的对称点坐标为(-x,-y).,练习:,(1)求点P(2,5)关于点Q(-3,-7)的对称点.,(2)若点A(0,-3)关于点M的对称点为B(-7,5).求M的坐标.,(二）直线关于点的对称 直线l:Ax+By+C=0关于点M(m,n)对称的直线l1的方程为A(2m-x)+B(2n-y)+C=0.,例1.求直线m:2x+3y-1=0关于点P(1,4)对称的直线n的方程.,解:(法一)直接代入上面结论,(法二)在直线m上任取两点A,B.则A,B关于点P的对称点落在直线n上.,(法三)显然直线m和直线n是平行直线,因此斜率相等.,一般地：曲线f（x，y）=0关于点M（m，n）的对称曲线方程为f（2m-x，2n-y）=0 特别地曲线f（x，y）=0关于原点（0，0）的对称曲线方程为f（-x，-y）=0.,二.轴对称(即关于直线的对称),例2.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.,解(法一)设B(m,n）由点关于直线对称的定义知:,线段ABl 即;=-1,线段AB被直线l平分,即线段AB的中点,在直线l上,故有 2-5=0,(一)点关于直线的对称:,联立 解得m=9 n=-7,B(9,-7),（法二）直线ABl,直线AB过点（-7，1）,直线AB的方程为y-1=-（x+7）即x+2y+5=0,由 解得,即AB的中点为（1，-3），又A（-7，1）,由中点坐标公式得B的坐标为（9，-7）.,小结:求点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0对称点Q(x1,y1)的方法:,(1)（综合求解）由点关于直线对称的定义及直线l垂直平分线段PQ得方程组:,由（1）（2）可解得x1,y1的值即对称点Q的坐标,(2)（分步求解）可先求直线PQ的方程,然后解出直线PQ与直线l的交点即线段PQ的中点M的坐标,最后利用中点坐标公式,求出对称点Q的坐标.,（3）（利用公式）点P（x0，y0）关于直线Ax+By+C=0的对称点Q的坐标为,一般地：,1、点（x0，y0）关于直线y=x的对称点为（y0，x0）,2、点（x0，y0）关于直线y=-x的对称点为（-y0，-x0）,3、点（x0，y0）关于直线y=x+b的对称点为（y0-b，x0+b）,4、点（x0，y0）关于直线y=-x+b的对称点为（b-y0，-x0+b）,5、点（x0，y0）关于直线y=0（即x轴）的对称点为（x0，-y0）,6、点（x0，y0）关于直线x=0（即y轴）的对称点为（-x0，y0）,7、点（x0，y0）关于直线y=m的对称点为（x0，2m-y0）,8、点（x0，y0）关于直线x=n的对称点为（2n-x0，y0）,注：当对称轴的斜率为1或对称轴与坐标轴垂直时可用上述方法直接求出对称点的坐标。,（二）直线关于直线的对称,例3.求直线m:x-y-2=0关于直线l:3x-y+3=0对称的直线n的方程.,解:,在直线x-y-2=0上任取一点如A(2,0),则A关于直线l的对称点A1 落 在直线n上,然后解出直线l和m的交点,由直线方程的两点式求出直线n的方程.,一般地：求直线关于直线对称的直线方程利用求交点和斜率；也可以转化为求点关于直线的对称点来解决。,特别地：当对称轴所在的直线与坐标轴垂直或斜率为1时可用以下结论直接代入；,常用结论:,1.直线关于原点的对称直线的方程为:2.直线关于x轴的对称直线的方程为:3.直线关于y轴的对称直线的方程为:4.直线关于直线y=x的对称直线的方程为:5.直线关于直线y=-x的对称直线的方程为,三.对称问题的应用：,（一）涉及定直线l上一点P与两定点A，B的距离和（或差）的最值问题,1.若A，B两点在直线的同侧：（1）设点B关于直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的交点P使得|PA|+|PB|最小；（2）直线AB与直线l的交点P使得|PA|-|PB|最大。,2.若A,B两点在直线的异侧:(1)直线AB与直线l的交点P使得|PA|+|PB|最小;(2)设点B关于直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的交点P使得|PA|-|PB|最大.,(二)涉及角平分线及光线的入射和反射问题一般都转化为对称问题来解决.,例5.已知两点A(2,15),B(-3,5),在直线l:3x-4y+4=0上找一点P,使得:(1)|PA|+|PB|最小,并求出其最小值;(2)|PA|-|PB|最大,并求出其最大值.,例6、一光线从点A(3，5)射到直线 l：3x4y+4=0 上后，反射到点B(2，3)，求反射光线所在直线方程。,解：设 A 关于 l 的对称点 A1(a,b),故所求反射光线方程为 6x+y 15=0,结论:入射光线与反射光线关于镜面直线对称,光线从A到B所经过的路程,练习题：,(1)点M(-1,3)关于直线x+y-1=0的对称点为_关于直线y=2x的对称点为_ _ 关于点(9,0)的对称点为(2)直线x+2y-1=0关于直线x-y+2=0的对称直线的方程为_关于直线y=-x的对称直线为_关于直线x+3=0对称直线为_(3)直线3x-4y+3=0关于x轴对称的直线方程为_关于y轴的对称直线方程为_关于原点的对称直线方程为,(4)光线从M(-2,3)射到x轴上一点P(1,0)后被x轴反射,则入射光线和反射光线所在的直线方程分别为_若光线射到直线y=2x上呢?,(5)光线沿着斜率为 的直线l1射在斜率为 的直线l2上反射,若l1和l2的交点为(-1,2),求反射光线所在的直线方程.,(6)已知ABC的一个顶点A(4,-1),其内角B,C的平分线方程分别为y=x-1和x=1,求边BC,AB所在的直线方程.,(7)直线y=2x是ABC中角C的平分线所在的直线方程,A(-4,2),B(3,1)求C的坐标,并判断ABC的形状.,(8)ABC的两条高线方程为2x-3y+1=0和x+y=0,顶点A的坐标为(1,2),求BC 边所在的直线方程.,(9)已知ABC的一个顶点A(-4,2),中线BD,CE所在的直线方程分别为3x-2y+2=0和3x+5y-12=0,求边BC所在的直线方程.,(10)已知ABC的一个顶点A(3,-1),AB边上的中线所在的直线方程为6x+10y-59=0B的平分线所在直线方程为x-4y+10=0,求边BC所在的直线方程.,(11)已知点A(2,0),B(-2,-2),在直线l:x+y-3=0上求一点P使|PA|+|PB|最小,变形:在l上求一点Q使得|QA|-|QB|最大.,(12)已知点A(4,1),B(0,4),在直线l:3x-y-1=0上求一点P使|PA|+|PB|最小.,变形:在直线l上求一点Q使得|QA|-|QB|最大.,再见,
