多元数量值函数的导数与微分-4隐函数.ppt
2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,1,隐函数的求导法则,由一个方程确定的隐函数由方程组确定的隐函数,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,2,一、一个方程的情形,隐函数的求导公式,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,3,解,令,则,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,4,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,5,解,令,则,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,6,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,7,解,令,则,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,8,思路：,解,令,则,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,9,整理得,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,10,整理得,整理得,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,11,设有一组方程,则称由(1)确定了隐函数组,之对应,能使,其中 定义在 若存在,二、隐函数组,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,12,并有,关于隐函数组的一般情形(含有 m+n 个变量的,m 个方程所确定的 n 个隐函数)，在本章不作详,细讨论,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,13,首先来看看,若由方程组(1)能确定两个可微的隐,足何种条件呢?,不妨先设 都可微,由复合求导法,通过对(1),分别求关于 x 与关于 y 的偏导数,得到,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,14,能由(2)与(3)惟一解出 的充要,条件是雅可比(Jacobi)行列式不等于零，即,由此可见，只要 具有连续的一阶偏导数，且,其中 是满足(1)的某一,初始点,则由保号性定理，使得在此邻域,内(4)式成立,根据以上分析,便有下述隐函数组定理.,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,15,雅可比（Jacobi,C.G.J.1804-1851,德国）,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,16,定理(隐函数组定理)设方程组(1)中的函数,F 与 G 满足下列条件：,(i)在以点 为内点的某区域,上连续；,(ii)(初始条件);,(iii)在 V 内存在连续的一阶偏导数；,(iv),隐函数组定理,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,17,即有,则有如下结论成立：,且满足,使得,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,18,在 上连续.,在 上存在一阶连续偏导,数,且有,本定理的详细证明从略,下面只作一粗略的解释:,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,19,由方程组(1)的第一式 确定隐,函数,将 代入方程组(1)的第二式,得,再由此方程确定隐函数 并代回至,这样就得到了一组隐函数,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,20,通过详细计算,又可得出如下一些结果:,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,21,例1 设有方程组,试讨论在点 的近旁能确定怎样的隐函,数组？并计算各隐函数在点 处的导数.,解 易知点 满足方程组(5).设,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,22,它们在 上有连续的各阶偏导数.再考察,在点 关于所有变量的雅可比矩阵,由于,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,23,因此由隐函数组定理可知,在点 近旁可以惟一,地确定隐函数组:,但不能肯定 y,z 可否作为 x 的两个隐函数.,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,24,运用定理 18.4 的结论,可求得隐函数在点 处,的导数值:,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,25,*注 通过详细计算,还能求得,这说明 处取极大值,从而知道,在点 的任意小邻域内,对每一个 x 的值,会有,多个 y 的值与之对应.类似地,对每一个 x 的值,也会有多个 z 的值与之对应.所以方程组(5)在点,近旁不能惟一确定以 x 作为自变量的隐函数组.,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,26,例 2 设函数 具有连续的偏导数,是由方程组,所确定的隐函数组.试求,解 设 则有,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,27,由此计算所需之雅可比行列式:,于是求得,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,28,注 计算隐函数组的偏导数(或导数)比较繁琐,要学懂前两例所演示的方法(利用雅可比矩阵和,雅可比行列式),掌握其中的规律.这里特别需要,“精心细心耐心”.,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,29,公式：,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,30,（分以下几种情况）,隐函数的求导法则,三、小结,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,31,思考题,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,32,思考题解答,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,33,练 习 题,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,34,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,35,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,36,练习题答案,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,37,
