闭区间连续函数整体性质的证明.ppt

4.2 闭区间连续函数整体性质的证明,一、性质的证明 3.2 给出了闭区间连续函数的三个性质:有界性、最值性和零点定理，没有给予证明。本节除给出这三个性质的证明外，还要引入一个新 概念一致连续，并证明闭区间的连续函数必是一致连续（第四个性质）。这四个性质都是建立在实数连续性的基础之上。因此，他们的证明要应用4。1中描述实数集连续性的定理。定理1.（有界性)若函数 在闭区间 连续，则函数 在闭区间 有界，即，有 证法 有已知条件得到函数有 在 的每一点的某个领域有界。要将函数 在每一点的领域有界扩充到在闭区间 有界，可应用有限覆盖定理，从而能找到。证明 已知函数 在 连续，根据连续定义，,有 从而，即,函数 在开区间 有界。显然，开区间集覆盖闭区间.根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n个开区间,也覆盖闭区间，且，有。取。于是，且，有。定理2、（最值性）若函数 在闭区间 连续，则函数 在 取到最小值 与最大值，即在 上存在 与，使 与且，有。证法 只给出取到最大值的证明。根据定理1，函数 在 有界。设,。只须证明，使，即函数 在 取到最大值。证明 设。用反证法。假设，有。显然，函数 在 连续，且。于是，函数在 也连续。根据定理1，存在，有 或即 不是数集 的上确界，矛盾。于是，使。,定理3.（零点定理）若函数 在闭区间 连续，且（即 与 异号），则在开区间 内至少存在一点，使。证明 不妨设。用反证法。假设，有，将闭区间 二等分，分点是。已知，如果，则函数 在闭区间 的两个端点的函数值的符号相反；如果，则函数 在闭区间 的两个端点的函数值的符号相反。于是，两个闭区间 与 必有一个使函数 在其两个端点的函数值的符号相反。将此闭区间表为为，有。,再将 二等分，必有一个闭区间，函数 在其两个端点 的函数值符号相反。将此闭区间表为,有。用二等分方法无限进行下去，得到闭区间列，且 1）2）。对每个闭区间，有。根据闭区间套定理(4.1定理1)，存在唯一数 属于所有的闭区间，且（1）,而，且，设。一方面，已知函数在 连续，根据连续符号大的保号性，即 有；另一方面，由（1）式，当 充分大时，有。已知，即函数 在 中某点的函数值小于0，矛盾。于是，。同法可证。所以闭区间 内至少存在一点，使。二、一致连续性 设函数 在区间 连续。即 函数 在 连续。根据连续定义，（满足连续定义的 有无限多，取较大者），有。从连续的定义不难看到，的大小，一方面与给定的 有关；另一方面与点 的位置也有关，也就是，当 暂时固定时，因点 位置的不同，,的大小也在变化。如图4.2，当 暂时固定时，在点 附近，函数图像变化比较“慢”，对应的 较大；在 附近，函数图像变化比较“快”，对应的 较小。于是，当 暂时固定时，有。无限多个，存在无限多个，那么在无限多个 中是否存在最小的正数呢？换句话说，对无限多个 是否存在一个通用的（即，,图 4.2,有）呢？事实上，在区间上的连续函数中，有的不存在通用的，有的存在通用的。定义 设函数 在区间 上有定义。若（通用的），有称函数 在 一致连续（或均匀连续）。根据一致连续的定义，若函数 在 一致连续，则函数 在 必连续。事实上，将 固定，令 变化，即函数 在 连续。因为 是 的任意一点，所以函数 在 连续。一致连续的否定就是非一致连续。现将一致连续与非一致连续列表对比如下：函数 在区间,例1.证明函数 在 一致连续，在 非一致连续。证明 要使不等式成立。从不等式,解得。取。于是，有 即函数 在 一致连续。,有即函数 在 非一致连续。例2.证明：函数 在 一致连续。证明，要使不等式成立。取。于是，有,即函数 在 一致连续。定理4.（一致连续性）若函数 在闭区间 连续，则函数 在闭区间 一致连续。证法 应用反正法与致密性定理。证明 假设函数 在 非一致连续，即 有 取，有,，有，有这样在闭区间 内构造两个有界数列 与。根据致密定理（4.1定理5）.数列 存在收敛的子数列，设。因为，所以，也有,一方面，已知函数 在 连续，有，即当 充分大时，有 另一方面，有 矛盾，即函数 在闭区间 一致连续。,