补充知识：空间曲线.ppt

湘潭大学数学学院 岳慧,第四节 补充空间曲线及其方程,第六章,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,湘潭大学数学学院 岳慧,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,湘潭大学数学学院 岳慧,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,湘潭大学数学学院 岳慧,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标 x,y,z表示成参数 t 的函数:,称它为空间曲线的参数方程.,当给定,时，就得到曲线上的一个点,随着参数的变化可得到曲线上的全部点.,湘潭大学数学学院 岳慧,圆柱螺旋线,的参数方程为,螺旋线的重要性质：,上升的高度与转过的角度成正比,上升高度,称为螺距.,湘潭大学数学学院 岳慧,例2.将下列曲线化为参数方程表示:,解:(1),根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为,故所求为,得所求为,湘潭大学数学学院 岳慧,例3.求空间曲线:,绕 z 轴旋转,时的旋转曲面方程.,解:,点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点,则,这就是旋转曲面满足的参数方程.,湘潭大学数学学院 岳慧,例如,直线,绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为,消去 t 和,得旋转曲面方程为,湘潭大学数学学院 岳慧,绕 z 轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为,又如,xOz 面上的半圆周,说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如,湘潭大学数学学院 岳慧,三、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线C的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C在xOy 面上的投影曲线 C为,消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲线方程,消去y 得C在zOx 面上的投影曲线方程,湘潭大学数学学院 岳慧,湘潭大学数学学院 岳慧,例4.求,在xOy 面上的投影曲线方程.,解：,1.消去 z,求投影柱面,将式代入式，得,再代回式，得,2.得到投影曲线方程,湘潭大学数学学院 岳慧,例5.设一个立体由上半球面,和锥面,所围成，求它在xOy面上的投影.,解：,二者交线,消去 z 得投影柱面,在 xOy 面上的投影曲线,所围圆域:,湘潭大学数学学院 岳慧,湘潭大学数学学院 岳慧,练习1.求曲线 在坐标面上的投影.,解,（1）消去变量z后得,在 面上的投影为,湘潭大学数学学院 岳慧,所以在 面上的投影为线段.,（3）同理在 面上的投影也为线段.,（2）因为曲线在平面 上，,湘潭大学数学学院 岳慧,练习2.求抛物面,与平面,的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.,截线方程为,解,(1)消去z 得投影柱面,故在xOy面上的投影为,湘潭大学数学学院 岳慧,(2)消去y 得投影柱面,故在 zOx 面上的投影为,(3)消去x 得投影柱面,故在 yOz 面上的投影为,湘潭大学数学学院 岳慧,内容小结,空间曲线,三元方程组,或参数方程,求投影曲线,(如,圆柱螺线),湘潭大学数学学院 岳慧,(2),(1),湘潭大学数学学院 岳慧,(3),湘潭大学数学学院 岳慧,