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第二章 逻辑代数,（1）代入规则,第2章,在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。,解：以（B+C）代入前边等式中B的位置，有,以BC代入前边等式中B的位置，有,原式L,（2）反演规则,第2章,10,01,逻辑变量取反,运算顺序不变,两变量及以上的非号不动,反函数,（）,（）,例1：已知,，求,第2章,解：,适当加括号以保证原有运算优先关系,例2：已知,，求,解：,两变量以上的非号不动,由例可见，用反演定理可以较快地得到逻辑函数的反函数。,（3）对偶规则,第2章,原式L,10,01,逻辑变量不变,运算顺序不变,两变量及以上的非号不动,对偶式,适当加括号以保证原有运算优先关系,（）,如：,两变量以上的非号不动,两变量以上的非号不动,第2章,对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：,逻辑函数的最简表达式,第2章,1最简与或表达式,特点：表达式中乘积项最少、并且每个乘积项中的变量 也最少。,最简与或表达式,如：,特点：表达式中非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少。,最简与非-与非表达式,第2章,如：,最简与非与非表达式,特点：表达式中括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少。,第2章,求出反函数的最简与或表达式,利用反演规则写出函数的最简或与表达式,最简或与表达式,如：,最简或与表达式,特点：表达式中非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少。,最简或非-或非表达式,第2章,如：,两次取反,再两次取反,最简或非或非表达式,最简与或非表达式,特点：表达式中非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少。,求最简或非-或非表达式,用摩根定律去掉大非号下面的非号,第2章,以后我们着重讨论的都是与或表达式的化简，因为与或表达式容易从真值表直接写出，且只需运用一次摩根定理就可以从最简与或表达式变换为与非与非表达式，从而可以用与非门电路来实现。,如：,第2章,2、逻辑函数的公式化简法,逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。,运用分配律,运用分配律,并项法,例1：,并项法【续】,运用摩根定律,第2章,若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。,例2：,吸收法,运用摩根定律,（）利用公式，消去多余的项。,例1：,例2：,如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。,配项法【续】,（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。,例：,第2章,2.2逻辑函数的卡诺图化简法,关于“最小项”,第2章,返回,（1）最小项定义,如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。,3个变量A、B、C可组成8个最小项：,（2）最小项的表示方法,通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。,3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：,第2章,（3）最小项的性质,性质1：任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1,而在变量取其他各组值时这个最小项的值都是0。,第2章,（3）最小项的性质,性质2：不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。,第2章,（3）最小项的性质,性质3：任意两个不同的最小项的乘积必为0。,第2章,（3）最小项的性质,性质4：全部最小项的和必为1。,第2章,变量ABC取值为001情况下，各最小项之和为1。【因为其中只有一个最小项为1，其余全为0。】,任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。,第2章,逻辑函数的最小项表达式,例如：,【表示法1】,【表示法2】,【表示法3】,【表示法4】,【表示法5】,最小项的若干表示方法,第2章,第2章,例：将下列函数化为最小项之和的形式,添项,第2章,如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。,已知真值表，写出函数的最小项之和的形式,将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。,第2章,则由真值表可得如下逻辑表达式：,注意：,在n个变量的逻辑系统中，如果Y为i个最小项之和，则必为余下的（ni）个最小项之和。,（1）最小项的相邻性,任何两个最小项如果他们只有一个因子不同，其余因子都相同，则称这两个最小项为相邻最小项。,显然，m0与m1具有相邻性，而 与 不相邻，因为他们有两个因子不相同。m3与m4也不相邻，而m3与m2相邻。,第2章,相邻的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一个变量。如：,2.卡诺图的特点,（2）卡诺图的特点,第2章,任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。,任何一行或一列两端的最小项在逻辑上也相邻，即：最左列的最小项和最右列的相应最小项是相邻的；最上面一行的最小项和最下面一行的相应最小项也是相邻的；卡诺图四角上的最小项也是互为相邻的最小项【注意：但四角上位于对角线上的两个最小项不是相邻的！】。,特别强调,每个2变量的最小项有2个最小项与它相邻,将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。,每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻,第2章,第2章,每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻,最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的,第2章,第2章,最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的,4、已知逻辑函数画卡诺图,当逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出时：,m1,m3,m4,m6,m7,m11,m14,m15,第2章,在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。,例如：,当逻辑函数以一般的逻辑表达式给出时：,先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。,例：,解：,变换为与或表达式,第2章,由上面变换的结果,填写卡诺图如下：,2、化简的步骤,将给定的逻辑函数式化成最小项之和的形式或化成与或形式。,第2章,画卡诺图：凡式中包含的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。,合并最小项：将满足2n个最小项相邻的1方格圈在一起，形成一个包围圈，对应该圈可以写成一个新的乘积项。,写出最简与或表达式：将所有包围圈对应的乘积项相加。,画包围圈时应遵循的原则：,圈内方格数必须是2n个，n=0,1,2,相邻方格包括上下底相邻、左右边相邻和四角相邻。,同一方格可以被重用，但重用时新圈中一定要有新成员加入，否则新圈就是多余的。,每个圈内的方格数尽可能多，圈的总个数尽可能少。,注意:,包围圈的圈法可能不惟一，因此化简结果也可能不惟一。,第2章,逻辑表达式或真值表,卡诺图,1,1,例：用卡诺图将下式化简为最简与或式形式。,圈越大越好，但每个圈中标的方格数目必须为个。,冗余项,2,2,不能漏掉任何一个标的方格。,第2章,合并最小项,最简与或表达式,3,3,将代表每个圈的乘积项相加,第2章,两点说明：,在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。,不是最简,最简,在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。,无关项的定义：函数可以随意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为无关项，也叫做约束项或随意项。,第2章,合理利用无关项：在逻辑函数的化简中，充分利用随意项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，随意项的取值可视具体情况取0或取1。具体地讲，如果随意项对化简有利，则取1；如果随意项对化简不利，则取0。,例如：判断一位十进制数是否为偶数。,第2章,输入变量A，B，C，D取值为00001001时，逻辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。,第2章,第2章,A，B，C，D取值为1010 1111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于无关项。用符号“”、“”或“d”表示。,无关项之和构成的逻辑表达式叫做 任意条件或约束条件，用一个值恒为 0 的条件等式表示。,含有约束条件的逻辑函数可以表示成如下形式：,不利用随意项的化简结果为：,将上式化简如下：,第2章,含有约束条件的逻辑函数可以表示成如下形式：,不利用随意项的化简结果为：,利用随意项的化简结果为：,将上式化简如下：,第2章,小结,逻辑函数的化简有公式法和卡诺图化简法等。,公式法是利用逻辑代数的公式和规则（定理）来对逻辑函数化简，这种方法适用于各种复杂的逻辑函数，但需要熟练地运用公式和规则（定理），且具有一定的运用技巧。,卡诺图化简法简单直观，容易掌握，但变量太多时卡诺图太复杂，一般说来变量个数大于等于5时该法已不适用。,在对逻辑函数化简时，充分利用无关项可以得到更为简单的结果。,第2章,