标量场的梯度.ppt

一、方向导数,方向导数表征标量场空间中，某点处场值沿特定方向变化的规律。,1.方向导数的定义,方向导数的物理意义,1.3 标量场的梯度,方向导数与选取的考察方向有关。,2.方向导数的计算公式,设 方向的方向余弦是，即,则方向导数的计算公式为,设一个标量函数u(x,y,z)，若函数u在点P可微，则u在点P沿任意方向l的方向导数为,二、标量场的梯度 标量场在什么方向上变化率最大？其最大的变化率是多少？,1.梯度的概念,梯度,标量场u沿指定方向的变化率就是标量场在该方向的方向导数,哈密顿算符,矢量服从矢量运算的规则;,算子代表一种微分运算，服从微分运算规则;,本身无独立意义，只有作用于标量函数或矢量函数时才代表一种运算。2）只对它后边的量起运算作用。不能随便交换的位置。,标量场u的梯度，用 表示,梯度的定义：在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个，其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度。,式中：是场量u变化率最大的方向上的单位矢量。,标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率 标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向 标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影,梯度的性质,等温线分布,标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数,直角坐标系中,柱坐标系中,球坐标系中,2.梯度的基本运算公式,3.梯度的重要性质,例1 三维高度场的梯度,图1 三维高度场的梯度,高度场的梯度与过该点的等高线垂直；,数值等于该点位移的最大变化率；,指向地势升高的方向。,例2 电位场的梯度,图2 电位场的梯度,电位场的梯度与过该点的等位线垂直；,数值等于该点的最大方向导数；,指向电位增加的方向。,源点,场点,场所在的空间位置点称为场点，记为,产生场的场源所在的空间位置点称为源点，记为,源点到场点的距离为 从源点指向场点的矢量为,