机械CAD-CAM技术第三讲-计算机图形处理技术.ppt

-1-,机械,CAD/CAM技术,中南林业科技大学机械设计制造极其自动化教研室 易春峰,-2-,第三讲计算机图形处理技术,计算机图形处理技术是利用计算机的高速运算能力和实时显示功能来处理各类图形信息的技术，包括图形的输入、。图形的生成显示、图形的变换、编辑、识别以及图形的输出绘制等方面，这是计算机图形学的重要内容，也是CADCAM作业中的基本组成部分。本章主要介绍有关的图形变换、图形绘制以及曲线曲面等方面的基本原理和方法。,-3-,第一节 图形变换,一、窗口-视区变换1、窗口 在进行图形处理时，常常对整幅图形中的某个部分表示关注，要把指定的局部图形从整幅图形中分离出来，往往采用开“窗口”的方法加以解决，即用户在所需要的图形部分区域选定一个观察框，这个观察框被称之为窗口，然后，经过图形软件系统的图形变换与裁剪处理，窗口内的图形便在屏幕上显示出来。,-4-,窗口通常被定义为一个矩形框,-5-,2、视区,视区是在图形设备上（如图形显示器）定义的矩形区域，用于输出所要显示的图形和文字。视区是一个有限的整数域，它小于或等于屏幕区域。如果在同一屏幕上定义多个视区，则可同时显示不同的图形信息，如在绘图时常将图形屏幕分为四个视区，其中三个视区用于显示零件的三视图，另一个用于显示零件的轴测图。,-6-,SE零件的四个视区,-7-,ACAD零件的四个视区,-8-,3、窗口与视区的变换,窗口与视区的大小和单位都不相同，为了把所选定窗口内的图形内容在希望的视区上显示出来，必须进行坐标变换，如图3-2，窗口与视区的变换可以归结为坐标点的变换。,-9-,设窗口内某一点坐标为(Xw，Yw)，映射到视区内坐标为(Xv，Yv)，则它们之间的变换关系为:,-10-,窗口与视区的变换特点,当视区大小不变时，窗口缩小或放大时，则显示的图形会相反地放大或缩小；当窗口大小不变时，视区缩小或放大时，则显示的图形会跟随缩小或放；当窗口与视区大小相同时，则显示的图形大小比例不变；若视区纵横比不等于窗口的纵横比时，则显示的图形会有伸缩变化。,-11-,窗口缩小 视区不变,缩小的窗口,-12-,二、二维图形的几何变换,1工程图形的齐次坐标矩阵表示 任何工程图形都可视为点的集合，图形变换的实质就是对组成图形的各顶点进行坐标变换。为了便于图形的变换计算，需要引用齐次坐标的概念。所谓齐次坐标即将一个n维矢量用n+1维矢量表示，如二维的点坐标(x，y)可简单地表示为（x，y，1）。,-13-,对于几何图形可引用齐次坐标矩阵进行表示。例如三角形A，在二维、三维平面内，其齐次坐标矩阵可分别表示为：,-14-,2、二维图形的基本几何变换,设一个几何图形为A，对该图形施行某种变换后得到的新图形为B，则式BAT成立。显然，B为变换后图形矩阵，那么称T为变换矩阵，它是用来对原图形施行坐标变换的工具。根据矩阵运算原理可知，二维图形变换T矩阵为3X3阶矩阵，而三维图形变换矩阵T则为4X4阶矩阵。,-15-,（1）比例变换,设图形在x，y两个坐标方向放大或缩小比例分别为a和d，则坐标点的比例变换为：,-16-,若a=d=1，为恒等变换，即变换后的图形坐标不变；若a=d1，则为等比例变换，1时为等比例放大，1时为等比例缩小；若a d则图形在x，y两个坐标方向以不同的比例变换。,-17-,(2)对称变换,坐标点的对称变换为：,-18-,1）当bc0，a=-1，d=1时，有x=-x，y=y，产生与y轴对称图形，如图所示：,-19-,2）当bc0，a=1，d=-1时，有x=x，y=-y，产生与x轴对称图形，如图所示：,-20-,3）当bc0，a=d=-1时，有x=-x，y=-y，产生与原点对称图形，如图所示：,-21-,4）当bc1，a=d=0时，有x=y，y=x，产生与45线对称的图形，如图所示：,-22-,5）当bc-1，a=d=0时，有x=-y，y=-x，产生与-45线对称的图形，如图所示：,-23-,（3）旋转变换,若使图形绕坐标原点旋转角，逆时针为正，顺时针为负，则对坐标点的旋转变换为：,-24-,（4）错切变换,其中，c，b分别为x，y坐标的错切系数。,-25-,1）当b=0，x=x+cy，y=y。此时图形y坐标不变，c0，图形沿+x方向作错切位移；c0，图形沿-x方向作错切位移，如图所示:,-26-,2）当c=0，x=x，y=bx+y。此时图形x坐标不变，b0，图形沿+y方向作错切位移；b0，图形沿-y方向作错切位移，如图所示:,-27-,(5)平移变换,图形在x轴方向的平移量为l，在y轴方向的平移量为m，则坐标点的平移变换为：,-28-,从上述介绍的5种二维图形的基本几何变换可见，各种图形变换完全取决于变换矩阵中各元素的取值。按照变换矩阵中各元素的功能，可将二维变换矩阵的一般表达式按如下虚线分为4个子矩阵：,-29-,子矩阵 可以实现图形的比例、对称、错切、旋转等基本几何变换；子矩阵l m可以实现图形的平移变换；子矩阵 可以实现图形的透视变换；子矩阵s实现图形的全比例变换，当s1时，图形等比例缩小；0s1时，图形等比例放大。,-30-,3、复合变换,CADCAM作业中的图形变换是复杂的，往往仅用一种基本变换是不能实现的，必须由两种或多种基本变换l的组合才能得到所需要的最终图形。这种由多种基本变换的组合而实现的变换称之为复合变换，相应的变换矩阵称之为复合变换矩阵，复合变换矩阵为多个基本变换矩阵的乘积。,-31-,复合变换举例,例如，将图形绕任意点P（xp，yp）转a角的旋转变换，可通过如下的基本变换实现：将旋转中心P点平移到坐标原点，基本变换矩阵为T平；将图形绕坐标原点旋转a角，基本变换矩阵为T转；再将旋转中心平移回到原来位置，基本变换矩阵为T-平。,-32-,则，图形绕任意点P的旋转变换矩阵为：,复合变换举例,注：矩阵乘法不符合交换律，矩阵的求解顺序不得随意变动。,-33-,三、三维图形的几何变换,三维图形的几何变换可在二维图形几何变换的基础上进行简单的扩展，运用齐次坐标的方法，可将三维空间点的几何变换表示为：x y z 1=x y z 1T其中，T是4X4阶的变换矩阵，即：,-34-,三维变换矩阵的四个子矩阵,与二维相同，也可将三维变换矩阵按虚线分为4个子矩阵，其中左上角子矩阵产生三维图形的比例、对称、错切和旋转变换；左下角子矩阵产生平移变换；右上角子矩阵产生透视变换；右下角子矩阵产生全比例变换。,-35-,1、三维比例变换,其中，a，e，j分别为x，y，z三个坐标方向的比例因子。当a=e=j1时，图形将等比例放大；当a=e=j1时，则图形将等比例缩小。,-36-,2、三维对称变换,相对于XOY平面、YOZ平面和XOZ平面三个坐标平面的对称变换矩阵分别为：,-37-,3、三维错切变换,三维错切变换矩阵为：,其中，d，h为沿x方向的错切系数；b，i为沿y方向的错切系数；c，f为沿z方向的错切系数。,-38-,4、三维平移变换,三维平移变换矩阵为：,其中，l，m，n分别为x，y，z三个坐标方向上的平移量。,-39-,5、三维旋转变换,（1）绕z轴旋转角的变换矩阵：,-40-,5、三维旋转变换,（2）绕X轴旋转角的变换矩阵：,-41-,5、三维旋转变换,（3）绕Y轴旋转角的变换矩阵：,-42-,第二节 计算机辅助绘图,计算机辅助绘图是在计算机软硬件的辅助下进行绘图作业的一项技术，具有效率高。便于编辑、修改和管理的特点。本节在介绍目前人们常用的交互式绘图、程序参数化绘图和尺寸驱动式参数化绘图的基础上，介绍参数化图库的建库方法和从三维实体模型中自动生成二维工程图的相关技术。,-43-,一、交互式绘图,交互式绘图是指在交互式绘图系统的支持下，用户使用键盘、鼠标等输入设备通过人机对话的方式进行绘图的方法。这种方法的最大优点在于：用户输入绘图命令及有关参数后，能实时地在图形显示设备上得到所绘的图形，并能直接进行编辑修改，直至满意为止，整个绘图过程非常直观、灵活。,-44-,目前，在国内比较流行的交互式绘图CAD软件有具有自主版权的CAXA电子图板。开目CAD。高华CAD和PICAD等，以及如AutoCAD、Microstation等国外的软件系统。使用最多的还是AutoCAD,-45-,AutoCAD交互式绘图的一般过程,（1）设置绘图环境或套用模板在绘图作业开始前，一般需根据所画图形的特点设置绘图环境。如根据图形的大小确定图形边界，绘制或插入合适的图框、标题栏，并设置合适的显示范围；根据所画图形的复杂程度确定图层的数目，并定义合适的文字样式及尺寸标注样式等。为了提高绘图的效率，避免每次绘图时的重复设置，可根据本行业、本单位的绘图标准建立合适的模板文件，以便以后绘图时直接套用。,-46-,AutoCAD交互式绘图的一般过程,（2）交互式绘图 根据视图的构成和布置首先生成各视图的水平、垂直基准线，由这些基准线的位置通过偏移和坐标点的追踪确定其它图元的相对位置。为保证所绘图形的精确性，绘图时可使用如正交、捕捉及目标捕捉等各种绘图辅助功能。为了便于图形管理，可将不同类型的图形放在不同的图层上；如果某些图层上的图形干涉当前层图形的操作，可将当前不需要操作的图层进行冻结。为了提高绘图的效率，尽量采用镜像、阵列、复制和插入功能，来加快绘图的速度。尽量用1:1的比例绘图。,-47-,AutoCAD绘图实例,见教材中P87P88，建议同学们按教材中的步骤做一遍，复习一下AutoCAD，并体会一下AutoCAD交互绘图的基本步骤和原则。,-48-,二、程序参数化绘图,交互式绘图是根据图形的特点，一条线一条线地通过人机交互来生成图形的，人工干预多，绘图效率低。这种绘图方式对于那些具有相同结构而只是尺不同的图形来说，其工作效率不高的缺陷显得尤为突出。在机械工程图中，由于很多零部件的形状是相似的，例如键，销。螺钉，螺母、滚动轴承等，绘制这些零件的视图一般可采用程序参数化绘图方法完成。,-49-,在程序参数化绘图方法下，用户不再需要调用绘图命令逐条线地绘制图形，这样的工作可交给程序去完成，用户所做的工作只是向程序提供所要求的一些参数。根据用户输入的参数程序将自动地计算确定图形中各实体的其它几何参数，图形中各实体之间的拓扑关系，如相对边平行、邻边垂直等则由程序来保证。,-50-,简单钣金件程序参数化绘图实例,简单钣金件零件图：,用户只要输入x1，y1，a，b，c，d参数，程序自动地计算其它几何参数：,x2=x3=x1+ax4=x5=x1+a-bx6=x1y2=y1,y3=y4=y1+d,y5=y6=y1+c,-51-,零件的AutoLisp程序,-52-,零件的AutoLisp程序,-53-,零件的AutoLisp程序,用文本编辑软件将上述程序编辑完成后，赋予如“Exam.lsp”文件名存放在AutoCAD的某个搜索目录下。调用时，首先在AutoCAD图形编辑状态下装入该文件，命令格式为：（load“Exam”）注意括号不能丢。当该程序正确装入后，就像使用AutoCAD命令一样直接输入函数名draw调用，然后根据程序的提示输入相关参数，程序即可自动绘制所需要的图形。,-54-,程序参数化绘图的参数确定方法,机械工程图参数的选取应尽量结合工程的实际需要和计算的方便性。例如，齿轮工程图样的绘制应该选用齿轮的模数，齿数和变位系数等作为齿轮图形参数，而不是用齿顶圆，分度圆直径等。对于一些如轴承，螺钉，螺母等标准件，可用其规格尺寸作为参数，其它结构尺寸已在工程手册中给定，可事先将这些结构数据存入文件或数据库，调用时，可由程序根据规格尺寸从数据库中检索，这样可尽量减少参数的数量，便于操作者的使用。,-55-,局部形状相似的零件其程序参数化绘图方法的基本思路,例如轴类零件，一般都可将其分解为由圆柱段，圆锥段、螺纹段、花键段等若干轴段组成，而每个轴段往往又包含有倒角，圆角，键槽，退刀槽、中心孔等结构。若将这些形状特征赋予参数，编制成绘图程序，通过调用这些特征绘图程序，可以拼合成各种不同的零件图形，这种绘图方法被称之为形状特征拼合法。,-56-,轴类零件可分解的形状特征及参数,-57-,可以利用AutoLisp程序对每一形状特征进行编程，具体AutoLisp编程语法可参考教材中P153P157内容。请同学们课后用AutoLisp对每个形状进行编程，并上机实验一下这些形状特征程序，并用他们画一个阶梯轴。必须指出：程序参数化绘图也有一定的局限性，即每个图形的绘制均需进行编程，而且这种绘图方法不便于图形的修改。,-58-,三、尺寸驱动式参数化绘图,如果无须对图形实体进行准确定位，而是以草图形式快速绘制图形，然后进行必要的尺寸标注，最后通过驱动程序产生由尺寸标注所控制的准确图形，这就是尺寸驱动式参数化绘图的基本思想。显然，这种绘图方式保留了交互式绘图的灵活性，又具有程序参数化绘图的快捷高效性，是目前被计算机图形系统普遍采用的一种绘图方式。,-59-,1、尺寸驱动参数化绘图原理,尺寸驱动参数化绘图一般是由尺寸驱动参数化软件模块在非参数化图形基础上引入了约束机制实现的。在参数化图形中，除了包含各图元的几何信息外，还包含了各种约束条件。这里所述的约束主要有几何约束和尺寸约束两种。几何约束：为各图元之间的平行、垂直、相切、对齐、相等、对称等拓扑关系。尺寸约束：表示图形中各组成图元的长度、角度、半径及相对位置等。,-60-,1、尺寸驱动参数化绘图原理,几何约束一般自动完成的，该约束生成后图形的拓扑结构已基本固定。尺寸约束则通过尺寸标注来实现的。当所施加的约束正好可以唯一确定图形的结构和大小时，则图形被全约束，参数化工作完成。图形参数化完成后，各尺寸标注的尺寸值就作为参数来处理，修改某一个或多个尺寸值时，系统会自动按新尺寸值进行调整。,-61-,2、尺寸驱动参数化绘图软件的主要功能,草图绘制与整理：绘制草图并添加几何约束。放置驱动尺寸：使图形全约束。修改驱动尺寸值，驱动图形符合设计要求。如proe的草绘。,-62-,四、参数化图库,目前市场上常见的二维CAD系统都附带有常用的标准件参数化图库，如PCCAD系统提供了各种紧固件、齿轮、链轮、带轮、润滑与密封件等共数千个标准件参数化图库，从这些图库中可直接调用各种规格的标准件零件图。除了直接使用软件系统所提供的已有图形库之外，还可以借助于现有的知识和软件工具建立用户自己的图形库。,-63-,五、工程图的自动生成,前面所介绍的交互式绘图，程序式绘图和尺寸驱动参数化绘图等各种绘图方法，从根本上来说，还均未摆脱二维绘图的传统工作模式，在手工绘图中所遇到的各种难题和问题，如复杂零件的投影线和截交线绘制、图样中的漏标尺寸、设计的修改引起的相关图档的更新等，没有得到根本的解决。,-64-,目前，三维实体造型技术已相当成熟，各种不同的CADCAM系统为用户提供了丰富的三维造型的工具和手段，利用这些工具用户能够快速地建立所设计对象的三维实体模型。根据已有的三维实体模型，通过投影、剖切自动生成各种工程图。这种方法较好地解决了上述二维CAD系统所面临的问题。,-65-,如proe的工程图，注意投影分角设置。,-66-,第三节 曲线和曲面,曲线和曲面是CADCAM中一项重要的技术基础。在机械设计与制造中常常遇到各种形状复杂的外形表面，这些外形表面不能用简单的数学函数来描述，而是通过一系列的离散点进行拟合构造，生成所需要的曲线和曲面，如汽车的车身，汽轮机叶片、塑料模具等。本节在介绍曲线曲面参数表示的基础上着重介绍Bezier曲线曲面，B样条曲线曲面和NURBS曲线曲面的构造描述方法。,-67-,一、曲线曲面的参数表示,1、曲线曲面的数学表示形式（1）显式表示对于一条平面曲线，可显式地表示为：y=f(x)，在这种显式方程表示中，不能表示封闭或多值曲线，如圆等。（2）隐式表示用隐式方程表示曲线和曲面的形式为：F（x，y，z)=0，这种隐式方程可表示多值曲线，如各种圆锥曲线（抛物线，椭圆，双曲线）等，但仍存在曲线与坐标轴选取相关、会出现斜率为无穷大，不便于计算和编程等问题。,-68-,（3）参数表示所谓参数表示，就是将曲线或曲面上点的坐标表示为某些参数的函数。例如：三维曲线上点的坐标可表示为参数u的函数：x=x(u)，y=y(u)，z=z(u)任意曲线均可映射为参数空间中的一个参数域，曲线上的每一点都与参数域内的某点保持一一对应的关系，即曲线上每一个点坐标（x，y，z）都可由一个参数u的函数来定义。任意曲面也总可映射为由（u，v)参数定义的参数空间中的一个矩形区域，曲面上每一个点与参数矩形域上的某点保持着一一对应的关系，则整张曲面就可由二维参数u，v的某个参数表达式来表示。,-69-,参数表示具有的优越性,1）可方便地表示三维曲线，并有更多的自由度来控制曲线曲面的形状；2）参数表示的曲线曲面与坐标系的选择无关。因此，在几何变换过程中，不必对曲线曲面上的每个点进行变换，可直接对曲线曲面参数方程实施变换，从而节省计算工作量；,-70-,参数表示具有的优越性,3）在参数表达式中使用切矢来代替非参数方程中的斜率，便于处理斜率无穷大的问题，因而不会由此造成计算的中断；4）参数表达式中一般都有明确的定义域，使其对应的几何量都是有界的。从而不必再进行边界的定义；5）易于用矢量和矩阵表示几何量，从而便于计算机的计算与编程。,-71-,2、参数曲线定义及其切矢量，法矢量和曲率,一条用参数表示的三维曲线是一个有界、连续的点集，可表示为：x=x(u)，y=y(u)，z=z(u)0u 1如图3-25(下一页)所示，曲线的端点在以u0，u=1处，曲线上任一点的位置矢量（即其坐标）可用矢量p(u)表示：P(u)=x(u)，y(u)，z(u)0 u 1,-72-,-73-,曲线上某点的切矢量,设曲线上Q、R两点，其参数分别为u、u+u，位置矢量分别为p(u)，p(u+u)。矢量p=p(u+u)-p(u)的大小表示连接QR的弦长，若使R点沿曲线逐渐靠近Q点，即当u 0时，位置矢量p(u)关于参数u的一阶导数矢量称为曲线在该点处的切矢量，切矢方向即曲线在该点处的切线方向。,-74-,曲线上某点的法矢量和曲率,在切矢量上取单位矢量T，如果曲线以弧长s为参数，则对单位切矢求导数可得，在矢量 上取单位矢量N，则：其中，k为曲线曲率，N为法线矢量（法矢）,-75-,曲率的进一步说明,曲率k是用以描述曲线在某点处的弯曲程度，是一个数值量。根据其定义有：曲线上某点的曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越厉害。曲率的倒数称为该点曲线的曲率半径。,-76-,法矢量的进一步说明,对于空间的参数曲线，所有垂直于切矢量T的矢量都是法矢量。因此，曲线上某一给定点处就有一束法线，这些法线在同一平面上，称此平面为曲线在该点的法平面。N称为主法线矢量，将BTN矢量称之为副法线矢量，它垂直于切线矢量T和主法线矢量N。,-77-,3、曲线段间连续性定义,在实际应用中，曲线常常以分段形式定义，或由多段曲线拼合而成。因而，在对曲线处理过程中必然涉及到各曲线段在连接点处的连续性问题。关于曲线段的连续性有两种判断标准，一种为参数连续，一种为几何连续。,-78-,参数连续与几何连续,参数连续是判断连接点处曲线方程对参数u的各阶导数的连续性，如果参数曲线在连接点处具有n阶连续导矢，则称曲线n阶参数连续，简记为Cn。几何连续是判断曲线在连接点处曲线方程对弧长参数s的各阶导数的连续性，若曲线具有关于弧长参数的n阶连续导矢，则称曲线n阶几何连续，简记为Gn。,-79-,曲线的参数连续性与参数的选取及具体的参数化有关；而几何连续性不依赖于参数的选取，而是反映出曲线的具体的几何特性。可见在CAD/CAM操作中我们更关心几何连续。,-80-,在曲线曲面造型中，一般只用到G0，G1，G2连续。G0连续时，表示曲线在连接点处位置矢量相同（即两曲线首尾连接）；G1连续表示曲线在连接点切矢方向相同，但大小可能不等（即两曲线相切），G2连续表示曲线在连接点处具有相同的曲率（相切且曲率相同，G2 连续在CAD/CAM造型中属于较高要求）。G3连续表示两曲线在连接点处的曲率曲线光滑无尖角。,-81-,G0，G1，G2，G3连续举例,G0,曲率梳,斑马纹,-82-,G0,-83-,G1,-84-,G2,-85-,G3,-86-,4、参数曲面的定义,任意一张曲面可以看作是由一个平面矩形经拉伸，弯曲及扭转等变形而成。在数学上，可将一般的曲面映射为由参数(u，v)定义的参数空间中的一个矩形区域。曲面上任一点s的位置矢量可表示为：S（u，v）=x（u，v）y（u，v）z（u，v）上式即为参数曲面的一般定义形式。,-87-,u向等参数线与v向等参数线,在参数曲面上有两个参数轴，一个为参数轴u，一个为参数轴v，分别表示参数曲面中两个参数的变化方向。若保持参数曲面上某v值不变，则随u参数值的变化而形成一条参数曲线，我们称该曲线为u向等参数线，即u向具有相同v值的曲线。同样还有v向等参数线。,-88-,参数曲面上切矢与单位法矢,过曲面上的任一点pij处总存在一条u向等参数线和一条v向等参数线，u向等参数线在该点处关于参数u的一阶偏导矢puij称为u向切矢，而v向等参数线在该点处关于参数v的一阶偏导矢pvij称为v向切矢，与两个切矢垂直的单位矢量称为曲面在该点处的单位法矢，简记nij。,-89-,-90-,二、Bezier曲线曲面,1962年法国雷诺汽车公司的Bezier提出了一种以逼近为基础的构造参数曲线的方法。Bezier曲线是通过特征多边形进行定义的，曲线的起点和终点与该多边形的起点和终点重合，曲线的形状由多边形其余顶点控制，改变特征多边形的顶点位置，可直观地看到曲线形状的变化。,-91-,Bezier曲线,-92-,1、Bezier曲线的定义,给定n+1个控制顶点Pi（i=0，1，n），可定义一条n次Bezier曲线,其中，Bi,n(u)为伯恩斯坦基函数：,-93-,2、常见的几种Bezier曲线,（1）一次Bezier曲线当n=1时，,其中，两个伯恩斯坦基函数分别为：,矩阵表示：,很显然，一次Bezier曲线是一条连接起点P0和终点P1的直线段。,-94-,（2）二次Bezier曲线,当n=2时：,其中三个伯恩斯坦基函数分别为：,矩阵表示：,-95-,显然，二次Bezier曲线是一条以P0和P1为端点的抛物线，其端点处有：P（0）=p0，P（1）=p2 P（0）=2（p1 p0），P（1）=2（p2 p1）,-96-,（3）三次Bezier曲线,当n=3时：,其中四个伯恩斯坦基函数分别为：,-97-,三次Bezier曲线的矩阵表示,端点处有：P（0）=p0 P（1）=p3 P（0）=3（p1 p0）P（1）=3（p3 p2）,-98-,3、Bezier曲线的几何特性,（1）端点特性 Bezier曲线过特征多边形的始点和终点，曲线始点和终点处的切线方向分别与特征多边形的首，未边重合（表示相切）。（2）凸包性在几何图形上，这意味着Bezier曲线落在由特征多边形控制顶点构成的最小凸多边形内。,-99-,凸包性,-100-,（3）几何不变性 Bezier曲线的位置与形状仅与其特征多边形顶点的位置有关，而与坐标系的选择无关。在几何变换中，只要直接对特征多边形的顶点变换即可，而无需对曲线上的每一点进行变换（4）全局控制性 当修改特征多边形中的任一顶点，均会对整体曲线产生影响，因此Bezier曲线缺乏局部修改能力。,-101-,4、Bezier曲线的拼接,如图所示，若给定两条三次Bezier曲线段P（u）和Q（u），使P（u）的终点p3和Q（u）的始点q0重合，现讨论这两条曲线段拼接的连续性条件。,-102-,Bezier曲线段拼接的连续性条件,（1）G0连续条件：P（1）=Q（0）即第一个控制多边形的终点与第二个控制多边形的起点相连。（2）G1连续条件：要求曲线在拼接点处具有相同的单位切矢，即需要满足p2，p3(q0)，q1三点共线。（3）G2连续条件：Bezier曲线在连接点处G2连续条件更为严格，要求特征多边形p1p2，p2p3，q0q1，q1q2四条特征边共面。,-103-,几何作图法（递推法）求Bezier曲线,b0,b3,b2,b1,-104-,5、Bezier曲面,设有pij（i=0,1,m;j=0,1,n）为（m+1）（n+1）个空间点列，则可定义一张mn次Bezier曲面：,其中：,为伯恩斯坦基函数。依次用线段连接点列pij中相邻两点所形成的空间网格，称为Bezier曲面特征多边形网格。,-105-,Bezier曲面的矩阵表示,-106-,例：双三次Bezier曲面片,给定由16个控制顶点组成的特征网格，可定义一张双三次Bezier曲面片，其参数表达式为：,-107-,双三次Bezier曲面片示意图,从图中可以看出，双三次Bezier曲面片的角点与对应的特征网格的四个角点重合；特征网格四边的12个控制点定义了四条Bezier曲线，即为曲面片的边界线，中央的4个控制点与边界曲线无关，但控制着曲面片的形状。,-108-,三、B样条曲线曲面,提出：尽管Bezier曲线曲面有许多优越性，但有两点不足：其一，特征多边形顶点数决定了Bezier曲线的阶次，当次数n较大时，特征多边形对曲线的控制能力将会削弱；其二，Bezier曲线不能作局部修改，改变一个控制点的位置对整条曲线都有影响。B样条曲线曲面正是基于解决上述问题而提出的。,-109-,1、B样条曲线的定义2、B样条曲线的节 P104P109（自学）点矢量和定义域3、均匀B样条曲线,-110-,4、B样条曲线的几何性质,（1）局部性：k次B样条曲线上的一点只被相邻的k+1个顶点所控制，与其它控制点无关，当移动一个控制顶点，只对是k+1个曲线段产生影响，对整条曲线的其它部分没有影响。因而B样条曲线可进行局部修改。（2）连续性：一般来讲，k次B样条曲线具有k-1阶连续。（3）几何不变性：B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。（4）凸包性：B样条曲线比Bezier曲线具有更强的凸包性，更贴近于特征多边形。（5）造型的灵活性：用B样条曲线可构造直线段、尖点、切线等特殊形式的曲线段。,-111-,5、B样条曲线控制顶点的反算,以上所介绍的由控制顶点构造曲线的方法被称之为正算。实际上，通过给定曲线上的一些型值点来构造曲线更适合设计者意图。因而，通过给定曲线上一些型值点反算控制顶点，再由控制点构造B样条曲线的方法具有很好的实用性。反算方法（三次均匀B样条反算的方法）见P108（自学）,-112-,6、B样条曲面,P108（自学）,-113-,四、NURBS曲线曲面,在如叶轮、塑料制品等零件截面外形曲线中既包含有自由曲线，也包含有规则的二次曲线和直线，而B样条有较强的自由型曲线曲面的表示和设计功能，但在精确表示由二次曲线曲面构成的次等曲线曲面却较为困难。而非均匀有理B样条（NURBS）正是为了解决既能与描述自由型曲线曲面的B样条方法相统一，又能精确表示二次曲线与二次曲面问题而提出的一种数学方法。,-114-,NURBS曲线曲面在CAD/CAM系统中的地位,国际标准化组织（ISO）于1991年正式颁布了关于工业产品几何定义的STEP标准，把NURBS（Non-Uniform Rational B-Spline）方法作为定义产品形状的唯一数学方法。,-115-,1、NURBS曲线的定义（P109自学）2、NURBS曲面的定义（P110自学）,-116-,3、NURBS曲线曲面的特点,1）为解析形式的曲线曲面（如二次曲线、二次曲面和平面等）和自由曲线曲面提供了统一的数学表示，便于工程数据库的统一存取和管理；2）提供了修改控制点和权因子多种手段，可灵活地改变曲线曲面的形状；3）对插入节点、修改、分割、几何插值等的处理工具比较有力；,-117-,3、NURBS曲线曲面的特点,4）具有透视投影变换和仿射变换的不变性；5）Bezier、非有理B样条曲线曲面可作为NURBS的特例来表示：6）比其它的曲线曲面表示方法更费存储空间和处理时间。,-118-,思考题与教学参考书,P115：1、4、6、7（改用autolisp语言编写）、9（改用proe软件）、11计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条-施法中-北京航空航天大学出版社计算机图形学-常明-华中理工大学出版社C程序设计-谭浩强AutoLisp程序设计,