常数项级数审敛法(上).ppt

1,第二节 常数项级数审敛法,一、正项级数及其审敛法,2,在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运算，并设法求出它的和或和的近似值但是除了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性，这些方法称为审敛法。,对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论。,3,一、正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.这种级数非常重要，以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项级数的收敛性问题,2.正项级数收敛的充要条件:,部分和数列 为单调增加数列.,定理,4,定理 1.正项级数,收敛,部分和序列,有界.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,单调递增,收敛,也收敛.,注：,正项级数收敛的本质,un 0足够快。,5,3.比较审敛法,证明,即部分和数列有界,6,不是有界数列,定理证毕.,7,都有,推论:,设,且存在,对一切,有,(1)若强级数,则弱级数,(2)若弱级数,则强级数,证:,设对一切,则有,收敛,也收敛;,发散,也发散.,分别表示弱级数和强级数的部分和,则有,是两个正项级数,(常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨,7,8,(1)若强级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则有,(2)若弱级数,因此,这说明强级数,也发散.,也收敛.,发散,收敛,弱级数,8,9,解,由图可知,10,重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数,11,调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,12,13,例2 利用比较法判定下列级数的敛散性:,14,比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，须有参考级数，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法,注：,15,4.比较审敛法的极限形式:,16,证:据极限定义,由定理 2 可知,同时收敛或同时发散;,(3)当l=时,即,由定理2可知,若,发散,(1)当0 l 时,(2)当l=0时,由定理2 知,收敛,若,17,是两个正项级数,(1)当 时,两个级数同时收敛或发散;,特别取,可得如下结论:,对正项级数,(2)当 且 收敛时,(3)当 且 发散时,也收敛;,也发散.,18,解,原级数发散.,故原级数收敛.,19,的敛散性.,例4.判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,20,思考：判别级数 的敛散性:,解:,不是 p级数,发散,故原级数发散.,21,例5 判别级数,（,）的敛散性,时，,时，,当,时，,所以当,时，,发散；,时，,收敛,解 当,当,当,22,证明,23,收敛,发散,24,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.直接从级数本身的构成即通项来判定其敛散性,注意:,25,26,解,27,比值审敛法失效,改用比较审敛法,28,例7,解,而,对,由检比法得,收敛,故由比较审敛法知,收敛,29,例8.讨论级数,的敛散性.,解:,根据定理4可知:,级数收敛;,级数发散;,30,练习,解,由检比法得,级数收敛；,级数发散。,检比法失效，但,即后项大于前项,故级数发散,31,32,证明,取,则,收敛,收敛,33,发散,不能判定,如,都有,发散,34,故级数收敛.,35,练习:,判别下列级数的敛散性,36,解答提示：,(1),发散,故原级数发散.,（3）发散；（4）收敛；（5）收敛；（6）收敛,37,四、小结,正 项 级 数,任意项级数,审敛法,1.,2.,4.充要条件,5.比较法,6.比值法,7.根值法,3.按基本性质;,38,作业 P206 1(1),(3),(5);2(2),(3),(4);3(1),(2);4(1),(3),(5),(6);,39,备用 判别级数,（,）的敛散性,发散,失效,时，,当,时，,所以当,时，,收敛；,时，,发散,解,当,当,收敛,发散,