常微分方程的消元法和首次积分法.ppt

4.2、微分方程组的消元法和首次积分法,我们介绍微分方程组的两种求解方法:消元法和首次积分法,这两种方法对求解一些简单的微分方程组是很有效的方法,但在学习这两种方法时必需注意它们的局限性.,一、微分方程组的消元法,将一阶微分方程组：,例1 求解方程组,代入原方程组的第一个方程得:,二阶常系数线性齐次方程,通解为,一阶线性非齐次方程的通解为,出现了三个任意常数,因此为避免出现增解，在求出一个未知函数后，,是一个多余的任意常数.,如果,?,例2 求解方程组,解 将第一个方程求导得,代入第二个方程得,不显含自变量t,再由第一个方程得,二 微分算子与线性微分方程组,相应地定义算子多项式：,L是线性算子!,微分算子法求解常系数线性微分方程组.,解:设,例 3 求解方程组,二阶线性常系数非齐次微分方程通解为,代入原方程组的第一个方程中得,一阶线性非齐次微分方程通解为,积分可以得到未知函数组合形式的解，,三 微分方程组的首次积分法,经适当组合化为一个可积分的微分方程.,首次积分法是将方程组,该方程为一个原方程组的首次积分.,解 将两个方程相加得,原方程组的一个首次积分.,再将两个方程相减得,例 4 求解方程组,原方程组的另一个首次积分.,例 5 求解方程组,再利用原方程可得,另一个首次积分,采用极坐标,原微分方程的通解为,考虑一般的,阶微分方程组,其中,对,是连续可微的.,如果在某区域内它们的Jacobi行列式,则称它们在区域G内为互相独立.,例 6 利用首次积分求解方程组,解 两个方程相除得,得到原方程组的一个首次积分,再利用两个方程相减得,所以原方程组通解为,作业:P184 1(1,2)，2(2)，3(1,5)，5,