常微分方程的数值解法简介.ppt

,常微分方程的数值解法简介,常微分方程的数值解法,内容初值问题边值问题刚性问题,资料来源：中国科技大学课程：数值计算方法。,初值问题的数值解法,对于一个常微分方程：,通常会有无穷个解。如：,因此，我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出，如下面的初值问题：,为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y满足Lipschitz条件：,初值问题的数值解法,常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法对函数进行运算。因此，常微分方程的数值解并不是求函数的近似，而是求解函数在某些节点的近似值。,例：我们对区间做等距分割：,设解函数在节点的近似为,由数值微分公式，我们有,，则：,向前差商公式,可以看到，给出初值，就可以用上式求出所有的,初值问题的数值解法,基本步骤如下：,解差分方程，求出格点函数,数值方法，主要研究步骤，即如何建立差分方程，并研究差分方程的性质。,这种方法，称为数值离散方法。求的是在一系列离散点列上，求未知函数y在这些点上的值的近似。,我们的目的，就是求这个格点函数,初值问题的数值解法,为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论：,步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题得真解；即收敛性问题,误差估计,产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会无限制扩大；稳定性问题,初值问题的数值解法,1 Euler公式,做等距分割，利用数值微分代替导数项，建立差分方程。,1.1 向前差商公式,所以，可以构造差分方程,称为局部截断误差。显然，这个误差在逐步计算过程中会传播，积累。因此还要估计这种积累,初值问题的数值解法,初值问题的数值解法,1.2 向后差商公式,是隐格式，要迭代求解,可以由向前差商公式求出,初值问题的数值解法,1.3 梯形法基于数值积分的公式,对微分方程,做积分，则：,初值问题的数值解法,类似，可以算出其误差估计式：,2阶的方法,所以，有格式为：,是个隐式的方法，要用迭代法求解,局部截断误差,初值问题的数值解法,2 RungeKutta法,一般的RungeKutta法构造,常见的为3阶，4阶公式,初值问题的数值解法,初值问题的数值解法,3 线性多步法,用若干节点处的 y 及 y 值的线性组合来近似y(xn+1)。,其通式可写为：,当 10 时，为隐式公式;1=0 则为显式公式。,初值问题的数值解法,写成向量的形式：,4 微分方程组,初值问题的数值解法,各种方法都可以直接运用过来。,Euler公式,以两个方程的方程组为例,初值问题的数值解法,Runge-Kutta公式,初值问题的数值解法,初值问题的数值解法,5.高阶方程,初值问题的数值解法,则有：,令,边值问题的数值解法,参见：Word文档。,刚性问题的数值解法,刚性问题,参考文献：李庆扬 关治 白峰杉 编著 数值计算原理。,