工科数学分析无穷级数ch4-3幂级数.ppt
2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,1,第4章 无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,函数项级数,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,2,第4章 无穷级数,第1节 常数项级数第2节 函数项级数第3节 幂级数第4节 Fourier级数,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,3,讨论一类特殊、常见、最简单的函数项级数幂级数,研究:(1)幂级数的收敛问题;(2)怎样将一个函数用幂级数表示问题。,第3节 幂级数,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,4,第3节 幂级数,3.1 幂级数及其收敛性3.2 幂级数的运算性质3.3 函数展开为幂级数3.4 幂级数的应用,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,5,3.1 幂级数及其收敛性,1.定义:,2.收敛性:,注,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,6,2.收敛性,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,7,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,8,证明,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,9,由(1)结论,用反证法,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,10,EX2.,EX1.,A,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,11,EX1.,解:,由级数在,一致收敛，一般项连续,可逐项积分,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,12,EX2.,解：,同理：,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,13,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,O,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,14,定理3.2,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,15,定义3.1:正数R称为幂级数的收敛半径.,（R,R）称为幂级数的收敛区间.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,收敛域:,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,16,A,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,17,证明,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,18,证明,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,19,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,20,则当,定理 2 对于幂级数,若,求幂级数收敛半径的根值法（检根法）：,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,21,例1 求下列幂级数的收敛半径与收敛域:,解,该级数收敛,该级数发散,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,22,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,23,发散,收敛,故收敛域为(0,1.,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,24,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,25,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为,注,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,26,EX.幂级数,的收敛域为.,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,27,总结,求幂级数收敛域的方法,1)对标准型幂级数,先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.,3)对非标准型幂级数(缺项或通项为（xx0)n),求收敛半径时直接用比值法或根值法,也可通过换元化为标准型再求.,2)对通项为（xx0)n)的幂级数,将1)的收敛域进行平移，使收敛域的中心在x0处.,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,28,3.2 幂级数的运算性质,1.代数运算性质:,(1)加减法,(其中,定理3.4,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,29,(2)乘法,(其中,柯西乘积,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,30,(3)除法,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,31,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,32,?,?,?,?,2.分析运算性质:,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,33,定理3.5（内闭一致收敛性）,若幂级数的收敛半径为,则在它,上,幂级数都一致收敛.,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,34,（1）(和函数的连续性),定理3.6,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,35,（2）(逐项积分),(收敛半径不变),2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,36,（3）(逐项求导),(收敛半径不变),2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,37,推论,k=1,2,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,38,思考题解答,不一定.,例,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,思考题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,39,例3,解法1,解法2,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,40,解,两边积分，,发散.,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,41,解 收敛半径为,注意：解方程也可用分离变量,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,42,解,注意:,例5,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,43,EX.,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,44,EX.,解,解 收敛域,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,46,3,解,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,47,1.幂级数的性质,两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与,乘法运算.,2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;,3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.,2.利用幂级数的性质求和函数,总结,2010年2月24日,南京航空航天大学 理学院 数学系,48,小结,1.幂级数的收敛性:,收敛半径R,2.幂级数的运算:,分析运算性质,3.求幂级数的和函数,
