导数与微分-第四节导数运算.ppt

求导运算,第四节,函数的和差积商的求导法则,你记住了吗？,特别,推广,例1 设,解,例2,解,例3 设,解,例4,解,导数公式,练一练,求下列函数的导数,反函数的求导法则,推广：,例5 设，求,解 由于 的反函数为,所以,（因为）,同理，可求得,即,练习,解 因为 的反函数是,所以,特别,基本导数公式,复合函数的求导法则,推广,链式法则Chain Rule,证明关键式子,也可以不写出中间变量,例6 设,例7 设,解,解 因为,所以,可分解为,所以,也可以不写出中间变量,环环相扣,例8 设,解,练一练,求下列函数的导数,例9,例10,解,解,练一练,求下列函数的导数,高阶导数,四阶导数,n阶导数,导函数的导数,引例,规律：每四阶导数重复一次；正弦、余弦交替出现。,例11,解,所以,即,同理可得,常用的高阶导函数,隐函数的导数,隐函数的求导方法将方程两边同时对自变量x求导。,例12,所以,注意：y是x的函数，则y的函数f(y)视为x的复合函数。,解 将方程两边同时对 x 求导，得：,因为当 x=0时，从原方程可以解得 y=0,练一练,所以,解 将方程两边同时对 x 求导，得：,将上式两边再对 x 求导得：,注意 y 是 x 的函数,例13,幂指函数的导数,两边取对数，得,将方程两边同时对 x 求导（注意 y 是 x 的函数）得：,解法2,解法1,转化为初等函数，直接求导法,转化为隐函数，对数求导法,例14,一般地，幂指函数 的求导，可有两种方法，都可得到一般公式：,如,练习 设,解答,对数求导法,两边取对数，得,两边对 x 求导（注意 y 是 x 的函数）得：,对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算为主的函数的求导。,例15,解,练一练,解,解,所以,由参数方程所确定的函数的导数(以下内容不讲),注意一阶导数也是 t 的函数,Y是x的复合函数t是中间变量,求由摆线的参数方程所确定的函数的二阶导数。,解,例16,是t的函数，是x的复合函数,练习,解,练一练,解,相关变化率,例1 一个飞机观察员观察到一架飞机正在的1143米的高度向他飞来，仰角为，并以/s的速度增加，问：飞机的地面速度是多少？,建立变量间的关系式,解,将上式两边同时对 t 求导，得,例2 设圆的面积为A，半径为，如果半径 以3mm/s的速度增加，求面积A的增加速度。,所以,而,所以,