大数定律与中心极限定理大数定律一依概率收敛教学.ppt

第五章 大数定律与中心极限定理5.1 大数定律一.依概率收敛,设Xn为随机变量序列，X为随机变量，若任给0,使得,则称Xn依概率收敛于X.可记为,如,意思是:当,a,而,意思是:,时,Xn落在,内的概率越来越大.,当,二.几个常用的大数定律,1.切比雪夫大数定律 设Xk,k=1,2,.为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望，及方差20，则,即若任给0,使得,证明:由切比雪夫不等式,这里,故,2.伯努里大数定律 设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn为n次试验中事件A发生的频率，则,证明:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,由切比雪夫大数定理,3.辛钦大数定律 若Xk,k=1.2,.为独立同分布随机变量序列,EXk=,k=1,2,则,推论:若Xi,i=1.2,.为独立同分布随机变量序列,E(X1k)=,则,5.2 中心极限定理一.依分布收敛,设Xn为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x),F(x).若在F(x)的连续点，有,则称Xn依分布收敛于X.可记为,二.几个常用的中心极限定理,1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg)设Xn为独立同分布随机变量序列，若EXk=，DXk=2，k=1,2,则Xn满足中心极限定理。根据上述定理，当n充分大时,例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？,解:设Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,100,则X1,X100独立同分布.,由中心极限定理,设随机变量n(n=1,2,.)服从参数为n,p(0p1)的二项分布，则,2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace),证明:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,由中心极限定理,结论得证,例2 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：(1)保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？,解 设X表示一年内死亡的人数，则XB(n,p),其中n=10000，p=0.6%，设Y表示保险公司一年的利润，Y=1000012-1000X于是由中心极限定理(1)PY0=P1000012-1000X0=1PX1201(7.75)=0;,PY60000=P1000012-aX60000=PX60000/a0.9;,（2）设赔偿金为a元，则令,由中心极限定理,上式等价于,