大学高数第四节极限存在准则与两个重要极限.ppt

准则I(函数夹逼定理),则,1.4 极限存在准则与两个重要极限,的某个空心邻域内有定义,且满足以下条件:,在 x0,如果数列 及 满足以下条件:,则,准则 I(数列夹逼定理),例1 求,例2 证明,单调有界准则,几何解释:,单调有界数列必有极限.,例,极限存在.,准则,单调并且有界,设函数 f(x)在点 x0的某个右邻域内,则f(x)在点 x0,右极限,必定存在.,单调有界数列必有极限.,函数极限也有类似的准则.,对于自变量的,不同变化过程,准则有不同的形式.,第一个重要极限：,即,由夹逼定理,例,例 求,第一个重要极限对于复合函数有,其中 的非零无穷小.,例,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,准则II(数列形式)单调有界数列必有极限.,准则II(函数形式),若函数 是I 上的单调函数,则它在I 内每一点的单侧极限存在.,第二个重要极限：,思路：我们利用不等式,从而该数列有极限.,证明数列 单调增加,并且有上界，,证(1)对于正整数n,有,即,所以数列 是严格单调增加的；,所以数列 是严格单调递降的.,又由于,所以,于是,于是,从而数列 单调增加,并且有上界，,由极限存在准则II，,(e),证(2)先证,从而,而,再证,由夹逼定理得,综合上述,有,第二个重要极限另一常用形式,例 求,例,例,*柯西极限存在准则,单调有界数列必有极限，,的数列一定有界却不一定单调.,但反过来,有极限,数列 收敛的充分必要条件是：,柯西极限存在准则,必有极限这一结论出发可以得到数列收敛的一个,从单调有界数列,充分必要条件.,思考题,1.求极限,2.求极限,思考题解答,2.原式=,