多元函数的微分学-习题课.ppt

第一次习题课,一、内容及要求,1 理解多元函数、多元函数的极限、连续、偏导数及全微分的定义,2 会求一些二元函数的极限、能判别函数的连续性。,4 多元函数连续、可导、可微的关系,能利用一元函数的求导法则计算多元函数的一阶二阶偏导，会求多元函数的全微分。,5 多元复合函数的偏导数,变量关系图,则有,（2）几种变形,（1）链式法则“连线相乘，分线相加”,(i)多个中间变量，一个自变量,(ii)一个中间变量，多个自变量：,(iii)中间变量与自变量混合存在:z=f(x，y，u)，u=u(x，y),（3）全微分形式的不变性:z=f(u，v)，u，v 不管是自变量还是中间变量，有,2.隐函数的偏导数（1）单个方程的情形 理论基础是复合函数的求导法则，具体计算有三种方法:,（2）方程组的情形,（4）复合函数的高阶偏导数的计算(难点),求Zxx、Zxy、Zyy 时应该注意到fu、fv仍是复合函数.,(i)公式法；(ii)复合函数的求导法则；(iii)一阶全微分形式的不变性。,求导方法：确定自变量及因变量，各方程对某一个自变量求偏导(或对各方程的两端取微分)，解方程组求得各因变量对这个自变量的偏导数(或导数、或微分),一般：变量个数方程个数=自变量个数,二、典型例题分析,1、选择与填充,（A）不连续（B）偏导存在(C)可微,例,解,例2,解,例.设z=f(x，y，u)，u=xey，f 具有二阶连续偏导数，求,变量关系图为：,代入得证。,例,证明：,两端求对x的偏导数，得,两端同乘以x2z2得,方程的两端求对y的偏导数，得,两端同乘以y2z2得,(1)式+(2)式,例,解：方程两端求对x的偏导数，有,解得,方程两端求对y的偏导数，有,或利用全微分形式的不变性求偏导,整理可得,由此可求得,例10.设，其中f、g具有一阶连续偏数，,解所给方程两端对x求偏导，得,整理可得,例11.设y=f(x，t)，而t是由方程F(x，y，t)=0所确定的x、y的函数，其中f，F都具有一阶连续偏导数，试证明,证法一：首先分析一下变量间的关系。,由式（1）可确定一元函数y=y(x)。,（1）式两端对x求导得,t是由方程F(x，y，t)所确定的x、y的函数，t=t(x，y)，而y=f(x，t)，于是有 y=f x，t(x，y)(1),t是F(x，y，t)=0确定的x、y 的函数，由隐函数求导法知,将（3）式代入（2）式，并从中解出,即得所欲证之等式。,证法二：将所给两方程联立：,方程组中含两个方程、三个变量，可确定两个一元函数y=y(x)，t=t(x)。方程组中的两个方程两端分别对自变量x求导，有,解上面的方程组,证法三：利用全微分形式不变性,消去dt,例12,解,于是可得,练习：,2,解,