随机变量的数字特征未完.ppt

第四章 随机变量的数字特征,本章要求 随机变量的期望随机变量的方差随机变量的协方差和相关系数,本章要求：理解期望与方差的概念,掌握期望与方差的性质、计算，会计算随机变量函数的期望。掌握两点分布、二项分布、泊松分布、指数分布和正态分布的期望与方差。了解协方差、相关系数的概念及性质，会求相关系数，知道矩与协方差阵的概念及求法。,重点：期望、方差、协方差的计算，随机变量函数的数学期望,4.1随机变量的期望,离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质,在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.,然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.,因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.,在这些数字特征中，最常用的是,数学期望、方差、协方差和相关系数,4.1随机变量的期望4.1.1 离散型随机变量的期望,数学期望描述随机变量取值的平均特征,定义 若XPX=xk=pk,k=1,2,n,则称,定义 若XPX=xk=pk,k=1,2,且,为的数学期望，简称期望或均值。,，则称,为的数学期望,绝对收敛,例 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。,完成P87例4-1、4-2,例1,例2,一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.,例3 按规定,某车站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立。其规律为：,几个重要r.v.的期望,1.0-1分布的数学期望,EX=p,2.二项分布B(n,p),3.泊松分布,完成P88例4-3、4-4,例 设随机变量X的分布律为,解:,求随机变量Y=X2的数学期望,X,Pk,-1 0 1,Y,Pk,1 0,离散型随机变量函数的期望,定理 若 XPX=xk=pk,k=1,2,则Y=g(X)的期望E(g(X)为,完成P88例4-5,定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f(x),如果积分,绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望,即,请注意:连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.,连续型随机变量的期望,例4,例5,若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机,寿命(以小时计)N 的数学期望.,的分布函数为,1.均匀分布U(a,b),几种重要连续型随机变量的期望,2.指数分布,3.正态分布N(,2),该公式的重要性在于:当我们求Eg(X)时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.,当X为连续型时,它的密度函数为f(x),连续型随机变量函数的数学期望,例,1 解 设试开次数为X,于是,E(X),2 解,Y是随机变量X的函数,P(X=k)=1/n,k=1,2,n,4.1.3 二维随 机变量的函数的期望。,例 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY),解:,例,例,特注P93例4-13,数学期望的性质,1.设C是常数，则E(C)=C;,4.设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,2.若k是常数，则E(kX)=kE(X);,3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);,（诸Xi相互独立时）,请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y 独立,例 设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量Y=aX+b的数学期望(其中a0),解：E(Y)=E(aX+b)=E(aX)+E(b)=aE(X)+b=a*0+b=b,可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是 n p.,XB(n,p),若设,则 X=X1+X2+Xn,=np,i=1,2，n,因为 P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p,所以 E(X)=,则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.,例 设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望.,例 设随机变量,相互独立，且均服从,分布，求随机变量,的数学期望,答:,答:,例 把数字1,2,n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.,由于 E(Xk)=P(Xk=1),解:设巧合个数为X,k=1,2,n,则,故,引入,例 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立),按题意,本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随,机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求,数学期望的,此方法具有一定的意义.,小结,这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：,方差,4.2方差,记为D(X)或Var(X)，即,D(X)=Var(X)=EX-E(X)2,方差的概念,若X的取值比较分散，则方差D(X)较大.,方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.,若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；,因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。,X为离散型，分布率PX=xk=pk,由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=X-E(X)2 的数学期望.,方差的计算,X为连续型，X概率密度f(x),计算方差的一个简化公式,D(X)=E(X2)-E(X)2,展开,证：D(X)=EX-E(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=E(X2)-2E(X)2+E(X)2,=E(X2)-E(X)2,利用期望性质,例,设随机变量X具有(01）分布，其分布率为,求D(X).,解,由公式,因此,0-1分布,例2,解,X的分布率为,上节已算得,因此,泊松分布,例3,解,因此,均匀分布,例4,设随机变量X服从指数分布,其概率密度为,解,由此可知,指数分布,方差的性质,1.设C 是常数,则 D(C)=0;,2.若 C 是常数,则 D(CX)=C2 D(X);,3.设 X 与 Y 是两个随机变量，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y),4.D(X)=0 PX=C=1,这里C=E(X),下面我们证明性质3,证明,若 X,Y 相互独立,由数学期望的性质4得,此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况.,可以不要求,例6 设XB(n,p)，求E(X)和D(X).,则 是n次试验中“成功”的次数,下面我们举例说明方差性质的应用.,解,XB(n,p),“成功”次数.,则X表示n重努里试验中的,于是,i=1,2，n,由于X1,X2,Xn 相互独立,=np(1-p),E(Xi)=p,D(Xi)=,p(1-p),例7,解,于是,可只记结论,可只记结论,例如,求和与求导交换次序,无穷递缩等比级数求和公式,1、设随机变量X服从几何分布，概率分布为,PX=k=p(1-p)k-1,k=1,2,其中0p1,求E(X),D(X),练习,D(X)=E(X2)-E(X)2,+E(X),解,2、,小结,这一讲，我们介绍了随机变量的方差.,它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征.,下一讲，我们将介绍刻划两r.v间线性相关程度的一个重要的数字特征：,协方差、相关系数,4.3 协方差及相关系数,协方差相关系数矩、协方差矩阵,前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的,协方差和相关系数,量E X-E(X)Y-E(Y)称为随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y)，即,Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y),Cov(X,Y)=Cov(Y,X),一、协方差,2.简单性质,Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y)a,b 是常数,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y),1.定义,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),可见，若X 与 Y 独立，Cov(X,Y)=0.,3.计算协方差的一个简单公式,由协方差的定义及期望的性质，可得,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即,D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y),4.随机变量和的方差与协方差的关系,特别地,协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如：,Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y),为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数.,二、相关系数,为随机变量 X 和 Y 的相关系数.,在不致引起混淆时，记 为.,相关系数的性质：,证:由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数 b,有,0D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y),D(Y-bX)=,2.X和Y独立时，=0，但其逆不真.,由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)=0.,故,=0,请看下例.,事实上，X的密度函数,例 设X服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而Y=cos X,不难求得,存在常数 a,b(b0），,使 PY=a+b X=1，,即 X 和 Y 以概率 1 线性相关.,因而=0，,即X和Y不相关.,但Y与X有严格的函数关系，,即X和Y不独立.,考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y，,以均方误差,e=EY-(a+bX)2,来衡量以 a+b X 近似表示Y 的好坏程度:,e 值越小表示 a+b X 与 Y 的近似程度越好.,用微积分中求极值的方法，求出使e 达到最小时的 a,b,相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.,=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y),e=EY-(a+bX)2,解得,这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X,这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X,这一逼近的剩余是,若=0，Y 与 X 无线性关系;,若0|1,|的值越接近于1,Y 与 X 的线性相关程度越高;,|的值越接近于0,Y与X的线性相关程度越弱.,E(Y-L(X)2=D(Y)(1-),但对下述情形，独立与不相关等价,前面，我们已经看到：,若 X 与 Y 独立，则X与Y不相关，,但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.,三、课堂练习,1、,解,解,2、,小结,这一节我们介绍了协方差、相关系数、,相关系数是刻划两个变量间线性相关程度的一个重要的数字特征.,注意独立与不相关并不是等价的.,当(X,Y)服从二维正态分布时，有,一、原点矩 中心矩,定义 设X和Y是随机变量，若,存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩,存在，称它为X的k阶中心矩,可见，均值 E（X）是X一阶原点矩，方差D（X）,是X的二阶中心矩。,4.3.3 矩、协方差矩阵,协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.,称它为 X 和 Y 的 k+L 阶混合（原点）矩.,称它为X 和 Y 的 k+L 阶混合中心矩.,可见，,二、协方差矩阵,将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩,排成矩阵的形式:,称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.,解:据协方差矩阵的定义.,设（X,Y）的协方差矩阵为,求,则,精品课件资料分享,SL出品,