通信原理 第10章数字信号最佳接收.ppt

1,通信原理,第10章 数字信号最佳接收,2,目标要求,基本要求 掌握数字信号的最佳接收准则，最大似然准则；掌握确知数字信号最佳接收机结构，及最佳接收时的误码率的分析；掌握数字信号的匹配滤波接收法；掌握最佳基带传输系统特性；,3,10.1数字信号的统计特性,以二进制为例研究接收电压的统计特性。假设：通信系统中的噪声是均值为0的带限高斯白噪声，其单边功率谱密度为n0；若此通信系统的基带截止频率小于fH，则根据低通信号抽样定理，抽样速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。设在一个码元持续时间Ts内以2fH的速率对接收噪声信号n(t)抽样，共得到k个抽样值，则有k 2fHTs。,4,第10章 数字信号最佳接收,由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维概率密度可以写为式中，n 噪声的标准偏差；n2 噪声的方差，即噪声平均功率；i 1，2，k。设接收噪声电压n(t)的k个抽样值的k维联合概率密度函数为,5,第10章 数字信号最佳接收,由高斯噪声的性质可知，高斯噪声的概率分布通过带限线性系统后仍为高斯分布。所以，带限高斯白噪声按奈奎斯特速率抽样得到的抽样值之间是互不相关、互相独立的。这样，此k 维联合概率密度函数可以表示为当k 很大时，在一个码元持续时间Ts内接收的噪声平均功率可以表示为：或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成,6,第10章 数字信号最佳接收,利用上式关系，并注意到 式中 n0 噪声单边功率谱密度则前式的联合概率密度函数可以改写为：式中 n=(n1,n2,nk)是一个 k 维矢量，表示一个码元内噪声的k个抽样值。需要注意，f(n)不是时间函数，虽然式中有时间函数n(t)，但是后者在定积分内，积分后已经与时间变量t无关。n是一个k维矢量，它可以看作是k 维空间中的一个点。,7,第10章 数字信号最佳接收,在码元持续时间Ts、噪声单边功率谱密度n0和抽样数k（它和系统带宽有关）给定后，f(n)仅决定于该码元期间内噪声的能量：由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，而另一些则无错。,8,第10章 数字信号最佳接收,设接收电压r(t)为信号电压s(t)和噪声电压n(t)之和:r(t)=s(t)+n(t)则在发送码元确定之后，接收电压r(t)的随机性将完全由噪声决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为n2，但是均值变为s(t)。所以，当发送码元“0”的信号波形为s0(t)时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为式中 r=s+n：是 k 维矢量，表示一个码元内接收电压的k个抽 样值；s：是k 维矢量，表示一个码元内信号电压的k个抽样值。,9,第10章 数字信号最佳接收,同理，当发送码元“1“的信号波形为s1(t)时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为顺便指出，若通信系统传输的是M 进制码元，即可能发送s1，s2，si，sM之一，则按上述原理不难写出当发送码元是si时，接收电压的k 维联合概率密度函数为,10,10.2 数字信号的最佳接收,“最佳”的准则：错误概率最小产生错误的原因：噪声和系统特性引起的信号失真；暂不考虑失真的影响，主要讨论在二进制数字通信系统中如何使噪声引起的错误概率最小。判决规则设在一个二进制通信系统中发送码元“1”的概率为P(1)，发送码元“0”的概率为P(0)，则总误码率Pe等于,11,第10章 数字信号最佳接收,由接收矢量决定的两个联合概率密度函数f0(r)和f1(r)的曲线画在下图中（在图中把r 当作1维矢量画出。）：可以将此空间划分为两个区域A0和A1，其边界是r0，并将判决规则规定为：若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是“0”；若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是“1”。,12,第10章 数字信号最佳接收,这样，总误码率可以写为式中，P(A0/1)表示发送“1”时，矢量r落在区域A0的条件概率 P(A1/0)表示发送“0”时，矢量r落在区域A1的条件概率这两个条件概率可以写为：这两个概率在图中分别由两块阴影面积表示。,13,第10章 数字信号最佳接收,将上两式代入得到上式表示Pe是r0的函数。为了求出使Pe最小的判决分界点r0，将上式对r0求导 并令导函数等于0，求出最佳分界点r0的条件：,14,第10章 数字信号最佳接收,即当先验概率相等时，即P(1)=P(0)时，f0(r0)=f1(r0)，所以最佳分界点位于图中两条曲线交点处的r 值上。在判决边界确定之后，按照接收矢量r 落在区域A0应判为收到的是“0”的判决准则，这时有：若 则判为“0”；反之，若 则判为“1”。在发送“0”和发送“1”的先验概率相等时，上两式的条件简化为：,最大似然准则,15,第10章 数字信号最佳接收,按照最大似然准则准则判决就可以得到理论上最佳的误码率，即达到理论上的误码率最小值。以上对于二进制最佳接收准则的分析，可以推广到多进制信号的场合。设在一个M 进制数字通信系统中，可能的发送码元是s1，s2，si，sM之一，它们的先验概率相等，能量相等。当发送码元是si时，接收电压的k 维联合概率密度函数为于是，若 则判为si(t)，其中，,16,10.3 确知数字信号的最佳接收机,确知信号：指其取值在任何时间都是确定的、可以预知的信号。判决准则当发送码元为“0”波形为so(t)时，接收电压的概率密度为当发送码元为“1”波形为s1(t)时，接收电压的概率密度为因此，将上两式代入判决准则式，经过简化，得到：,17,第10章 数字信号最佳接收,若则判为发送码元是s0(t)；若 则判为发送码元是s1(t)。将上两式的两端分别取对数，得到若则判为发送码元是s0(t)；反之则判为发送码元是s1(t)。由于已经假设两个码元的能量相同，即所以上式还可以进一步简化。,18,第10章 数字信号最佳接收,若 式中则判为发送码元是s0(t)；反之，则判为发送码元是s1(t)。W0和W1可以看作是由先验概率决定的加权因子。,19,第10章 数字信号最佳接收,最佳接收机按照上式画出的最佳接收机原理方框图如下：,20,第10章 数字信号最佳接收,若此二进制信号的先验概率相等，则上式简化为最佳接收机的原理方框图也可以简化成：,21,第10章 数字信号最佳接收,由上述讨论不难推出M 进制通信系统的最佳接收机结构 上面的最佳接收机的核心是由相乘和积分构成的相关运算，所以常称这种算法为相关接收法。由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值。,22,二进制等先验概率信号的误码率：式中，上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率，误码率仅和两种信号码元波形的差别s0(t)-s1(t)的能量有关，而与波形本身无关。,10.4 确知数字信号最佳接收机的误码率,23,误码率的计算：首先用相关系数 表示上式中的 c定义相关系数：描述码元区别的一个参量的取值范围：当s0(t)=s1(t)时，1，为最大值；当s0(t)=-s1(t)时，-1，为最小值。所以，当E0=E1=Eb时，有及,24,将c代入误码率，得：化简后：上式是一个非常重要的理论公式，它给出了理论上二进制等能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值。,25,由上式可以看出：误码率和噪声功率无直接关系，而和噪声功率谱密度n0有关；误码率和信号波形无直接关系，而和Eb及相关系数有关；当=1时，误码率最大。这时的误码率Pe=1/2。当=-1时，误码率最小。这时 2PSK信号,26,当=0 时，为正交信号，2FSK信号当E0=0，E1=Eb时：2ASK信号由可知，E/n0实际上相当于接收信号噪声功率比PS/Pn,27,10.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较,当系统带宽恰好满足奈圭斯特准则时，实际接收机的信噪比r等于最佳接收机的码元能量和噪声功率谱密度之比Eb/n0 实际接收机的带宽不能达到该极限值，所以实际接收机的性能低于最佳接收机的性能。,28,匹配滤波 用线性滤波器对接收信号滤波，使抽样时刻的输出信噪比最大。设：H(f)接收滤波器的传输函数，h(t)为其冲激响应；s(t)接收信号；S(f)接收信号的频谱密度；n(t)高斯白噪声；Pn(f)=n0/2 噪声双边功率谱密度;若滤波器输入码元为则线性滤波器的输出为 式中，输出噪声功率：,10.8 数字信号的匹配滤波接收原理,29,在抽样时刻 t0 上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为 求r0的最大值 利用施瓦茲(Schwarz)不等式：若 成立（其中k为整数），则上式的等号成立 令则有当 时，上式的等号成立，r0最大为2E/n0。H(f)与信号频谱共轭匹配（除了常数因子外），故称之为匹配滤波器。,30,匹配滤波器的特性还可以用其冲激响应函数h(t)来描述：由上式可见，匹配滤波器的冲激响应 h(t)就是信号s(t)的镜像s(-t)，但在时间轴上（向右）平移了t0。,31,匹配滤波器应该是物理可实现的，即其h(t)应该满足条件：即要求满足条件 或满足条件要求：滤波器输入信号码元s(t)在抽样时刻t0之后必须为零。一般不希望在码元结束之后很久才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，即选t0=T。故匹配滤波器的冲激响应可以写为匹配滤波器输出信号码元的波形：上式表明，匹配滤波器输波形是输入码元波形的自相关函数的k倍。,32,【例】设接收信号码元s(t)的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。【解】s(t)的频谱为 由式令k=1，可得其匹配滤波器传输函数为：由式令k=1，得到此匹配滤波器冲激响应为：由 画出输出信号曲线,33,由匹配滤波器的传输函数得到滤波器结构：(1/j 2 f)是理想积分器的传输函数 exp(-j 2 f T)是延迟时间为T 的延迟电路的传输函数方框图如下：,34,【例】设接收信号s(t)的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。【解】s(t)的频谱密度为 故其匹配滤波器的传输函数为 上式中，已令t0=T。,(a)信号波形,35,匹配滤波器的冲激响应:为了便于画出波形图，令 上式可化简为：匹配滤波器输出波形：由于s(t)和h(t)在区间(0,T)外都等于零，故上式中的积分可以分段进行计算：计算结果如下：,(c)输出波形,(b)冲激响应,36,用匹配滤波器构成的接收电路方框图：最大信噪比与信号波形无关 所以匹配滤波器适用于任意一种数字波形。,37,设：匹配滤波器的冲激响应函数：匹配滤波器是物理可实现的：接收信号码元 x(t)限定在(0,T)则输出信号波形y(t)按照式可以写成：在抽样时刻T，输出电压等于：上式中的积分是一种相关运算，即将输入x(t)与和s(t)作相关运算。只有输入信号x(t)=s(t)时，在时刻t=T才有最大的输出信噪比匹配滤波器与相关接收法完全等效，都是最佳接收,匹配滤波器与相关接收法,38,相关接收法方框图：相关接收法判决准则：,39,【例】设有一个信号码元如上例中所给出的s(t)。试比较它分别通过匹配滤波器和相关接收器时的输出波形【解】根据此信号码元通过相关接收器后，输出信号波形等于上式中，假定f0很大，故结果近似等于t/2，即与 t 成正比。输出波形：只有当 t=T 时，两者的抽样值才相等。,40,基带传输系统基带总传输函数：H(f)=GT(f)C(f)GR(f)假设：信道具有理想特性，即假设C(f)=1。于是有 H(f)=GT(f)GR(f)且设H(f)满足无码间干扰。待解决的问题：如何设计GT(f)和GR(f)，使系统在加性白色高斯噪声条件下误码率最小。,10.9 最佳基带传输系统,41,用匹配滤波法接收时：信号频谱 S(f)发送滤波器的传输特性GT(f)匹配滤波器的传输特性GR(f)应当是信号频谱S(f)的复共轭:即，或写成得到要求接收匹配滤波器满足的条件为由于上式没有限定接收滤波器的相位条件，所以可以选为：由式得到发送滤波器的传输特性为：,42,最佳基带系统的误码率性能设：基带码元为M进制多电平信号，即码元有M种电平：在接收端，判决电路的判决门限值则应当设定在 错误概率：式中，是噪声的抽样值将计算结果，代入Pe公式，得到误码率最终表示式为,43,当M2时，上式是在理想信道中，消除码间串扰条件下，二进制双极性基带信号传输的最佳误码率。误码率曲线：由此图可见，当误码率较低时，为保持误码率不变，若M值增大到2倍，信噪比大约需要增大7 dB。,44,10-4 10-9,思考题、习题,