竞赛辅导中值定理.ppt

方程实根的讨论,第三讲 微分中值定理及导数应用,方程实根问题的一般提法：,1.证明方程是否有实根2.证明函数是否有零点3.证明存在一点，使得f()=c,方程实根问题的一般方法：零点定理，介值定理，罗尔定理，利用曲线形态等等,证明实根唯一的常用方法：1.单调性；2.反证法（假设有两个实根，证矛盾）；3.若有f(x)0,则通常反证时用罗尔定理。,1、应用零点定理,例 1,提示,练习,提示,例2,提示,练习,提示,例 3,简答,2、应用介值定理,例 4,3、应用罗尔定理,例 5,例 6,练习,提示,练习,4、应用曲线的形态分析（多用于实根的个数的讨论）,例 7,一般解题步骤（1）求出f(x)驻点和f(x)不存在的点划分f(x)的单调区间（2）求出f(x)的极值（或最值）（3）分析极值（或最值）与x轴的相关位置，有时需辅以极限协同分析,答案,例9,答案,08天津市竞赛题,例8,有关中值问题的题型,类型一：结论为f(n)()=0的命题证明：方法：(1)证为f(n-1)(x)的最值点或极值点，用费马引理；(2)验证f(n-1)(x)满足罗尔定理，用罗尔定理（有时多次用）,例 10,提示（1）利用极限的保号性（2）利用罗尔定理或费马引理,练习,提示 利用积分中值定理，多次利用罗尔定理。,练习（01年天津市竞赛题）,例 11,例 12,提示 利用介值定理，再利用罗尔定理。,例 13,提示 利用罗尔定理。注意最大值点可能不同，需讨论。,练习,类型二：含有f(n)()的等式的证明：,利用逆向思维,设辅助函数.,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可用原函数法（或微分方程法）找辅助函数.,多用罗尔定理,可考虑用,柯西中值定理.,(3)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,有时也可考虑对导数用中值定理.,例14,以上利用一些求导公式，观察所证的特点，设出辅助函数。需要记住的求导公式。,例15,思考题,思考题,提示,提示,练习,例16,利用微分方程法求辅助函数,分析,提示,例17,提示,例19,例18,（05年天津市）,提示,提示 应用柯西中值定理,例20,例21（07年天津市）,提示 应用泰勒中值定理,提示,必须多次应用中值定理。,类型三：含有两个中值的等式的证明,一般解题方法:,例22,练习,证明在(a,b)内存在相异的两个中值使等式成立:,一般思路:,（1）先选用一种微分中值定理，然后此中值与给定区间的一个端点之间再用一次适当的微分中值定理。,（2）先把待证等式中含有的因子与含有的因子分别移至等号两边，根据各自特征分别构造函数，其次在(a,b)内确定一点x0，把区间分成两个小区间，在每个小区间上再分别用中值。,例24,练习,例23,不等式的证明的几种方法,1、应用函数的单调性,2、应用微分中值定理,例 25,例 26,例 28,练习,例27（07年天津市）,3、应用函数的最大值和最小值方法,4、应用泰勒公式,例 29,例 30,例 31,例 32,例 34,例 33,练习,练习,例36（09年天津市）,5、应用曲线的凹凸性,例 37,