空间距离的概念及其求法.ppt

11.2.4 空间距离的概念及其求法,一.几种距离的概念,1.点到平面的距离2.直线到平面的距离3.两平面的距离4.异面直线的距离,二.向量法求距离,（1）点到平面距离的向量公式,d=,（2）线面、面面距离的向量公式,d=,或,d=,（3）异面直线的距离的向量公式,d=,求空间中点到直线的距离,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E是BB1的中点，则E到AD1的距离是(),A a B a C a D a,解析：连结D1E、AE，过E作EHAD1于H，在AD1E中易求EH=a.,D,求点到平面的距离,已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点.（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离.,思路分析：第一问即是证明两组线线垂直，第二问可考虑等体积法。,解答（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，,F为BD1中点，FMD1D且FM=D1D,又EC=CC1，且ECMC，,四边形EFMC是矩形,EFCC1,又CM面DBD1,EF面DBD1,BD1 面DBD1，EFBD1 故EF为BD1与CC1的公垂线.,（II）解：连结ED1，有，由（I）知EF面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，则SDBCd=SDBD1EF.，,AA1=2AB=1.,故点D1到平面BDE的距离为,点评与感悟：等体积法是求点到平面距离的常用方法，一般是找到一个三棱锥，利用选择不同的顶点后，三棱锥自身体积相等的特性进行求解。使用等体积法的前提是几何体的体积一定可以通过题设算得。,设A（2，3，1），B（4，1，2），C（6，3，），D（，4，8），求D到平面ABC的距离.,解：设平面ABC的法向量n=（x，y，z），,n=0，n=0，,即,令z=2，则n=（3，2，2）.,cosn，=,点D到平面ABC的距离为d，,d=|cosn，|=,或,点评与感悟：求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量n的坐标，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量的坐标，,求异面直线间的距离,如图所示，已知四边形ABCD、EADM都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED与AC的中点，,解：建立空间直角坐标系，使得D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），则由中点坐标公式得,（1）=（a/2，0，a/2），=（a/2，a/2，a），,=（a/2）a/2+0+a/2（a）=3/4a2，,且=a，=a.,cos，=,故得两向量所成的角为150.,（2）设n=（x，y，z）是平面EFB的单位法向量，即|n|=1，n平面EFB，n,n 又=（a，a，0），=（0，a，a），即有,得其中的一组解,n=（,），=（a/2，0，a/2）.,设所求距离为d，则d=|n|=a,（3）设e=（x1，y1，z1）是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，则由=(-a/2,0,a/2).=(a/2,a/2,-a)，得,求得其中的一个e=（，,），而=（0，a，0）.设所求距离为m，则,m=|e|=|a|=a.,本 节 完,