矩阵的运算与初等变换.ppt

线性代数 第一章,第一章 矩阵的运算与初等变换,本章教学内容1 矩阵与向量的概念2 矩阵的运算3 分块矩阵及矩阵的分块运算4 几种特殊的矩阵5 矩阵的初等变换,第一章 矩阵的运算与初等变换,矩阵是代数学中最重要的基本概念之一，是代数学研究的主要对象，也是数学许多分支研究及应用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个部分。在很多领域中的一些数量关系都可以用矩阵来描述。本章主要介绍矩阵的概念、性质和运算。并把向量视为特殊的矩阵，自然地引进向量的概念及其线性运算。还将介绍矩阵的初等变换及分块矩阵等相关知识，为今后的学习相关知识打下扎实的理论基础。,1 矩阵与向量的概念,本节教学内容1.矩阵的概念2.同型矩阵与矩阵相等的概念3.几种特殊的矩阵4.矩阵的应用5.向量的概念,1 矩阵与向量的概念,1.矩阵的概念 考察线性方程组隐去未知量和等号，分离出各未知量的系数，得 一般地，我们有如下的定义,称为矩阵,1 矩阵与向量的概念,定义1.1由mn个数排成m个行n个列的数表叫做m行n列的矩阵，或称mn矩阵.通常用大写字母A或Amn表示法.有时也记为,是第i行第j列元素，简称(i,j)元,1 矩阵与向量的概念,元素是实数的矩阵称为实矩阵元素是复数的矩阵称为复矩阵例如,是一个24实矩阵，,是一个33复矩阵，,1 矩阵与向量的概念,2.同型矩阵与矩阵相等的定义两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.例如两个矩阵A=(aij)与B=(bij)为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵A与B相等,记作A=B.,为同型矩阵.,1 矩阵与向量的概念,3.几种特殊的矩阵只与0有关的：元素全为零的矩阵称为零矩阵，mn零矩阵记作O或Omn注意不同型的零矩阵是不相等的.例如,1 矩阵与向量的概念,只与行列相关的:1n矩阵也称行矩阵，或称n维行向量，ai也称为第i个分量.注意分量间用逗号分开。m1矩阵也称列矩阵，或称m维列向量，ai也称为第i个分量.,1 矩阵与向量的概念,nn矩阵也称n阶方阵(或n级方阵)，Ann表可简记为An；其中aii称为主对角线元素；而aij(i+j=n+1)称为副对角线元素.,主对角线,副对角线,1 矩阵与向量的概念,例 主对角线元素均为1，其它元素均为0的 n阶方阵称n阶单位矩阵，记为En或E.,1 矩阵与向量的概念,4.矩阵的应用例1 某公司对四名应聘人员进行三项素质考评的百分制成绩可用矩阵表示，其中aij为第i名应聘者的第j种素质考评的成绩。,1 矩阵与向量的概念,例2 公司中甲、乙两类岗位对三项素质要求的权重系数也可用矩阵表示，其中bij为第j类岗位对第i种素质要求的权重系数。注：这里,1 矩阵与向量的概念,例3 第i村到第j村有aij条道路相通，四个村的通路信息可用矩阵表示。注：这里aii=0，即同一个村不考虑相通的道路。,1 矩阵与向量的概念,5.向量的概念定义1.2 1n矩阵称n维行向量，n1矩阵称n维列向量，n维行向量与n维列向量统称n维向量，简称向量。向量常用黑体字母,或x,y,z,表示（或加箭头）。两向量相等当且仅当维数相同且对应的分量相等.分量全为零的向量称零向量，记为0.,1 矩阵与向量的概念,n个n维列向量称为n维基本列向量。n个n维行向量称为n维基本行向量。,1 矩阵与向量的概念,本节学习要求 熟悉矩阵、同型矩阵、矩阵相等、列矩阵、行矩阵、方阵、单位方阵与向量的概念，懂得矩阵的应用。作业：习题1.1(A)第2题,2 矩阵的运算,本节教学内容1.矩阵加、减法2.数乘矩阵3.矩阵乘法4.方阵的幂5.矩阵的转置,2 矩阵的运算,1.矩阵加、减法定义2.1 两个mn矩阵A=(aij),B=(bij)的和记为A+B，规定注：只有同型矩阵才能相加.,2 矩阵的运算,定义 mn矩阵-A=(-aij)称为矩阵A=(aij)的负矩阵.两个mn矩阵A=(aij),B=(bij)的差记为A-B，规定A-B=A+(-B)，即注：只有同型矩阵才能相减.,2 矩阵的运算,运算规律 设矩阵A,B,C均为mn矩阵，O为 mn零矩阵,则 A+(-A)=O；A+O=A；A+B=B+A；(A+B)+C=A+(B+C).,2 矩阵的运算,例1 设矩阵且A+B=C，求x,y.解 由A+B=C，得,2 矩阵的运算,2.数乘矩阵定义2.2 数与mn矩阵A=(aij)的乘积记为A或A，规定,2 矩阵的运算,运算规律 设矩阵A,B均为个mn矩阵，,为 数，则(A)=()A；(+)A=A+A；(A+B)=A+B；(-1)A=-A.通常把矩阵的加法运算和数乘运算统称矩阵的线性运算。,2 矩阵的运算,例2 设矩阵求3A-2B.解,2 矩阵的运算,3.矩阵乘法定义2.3 矩阵A=(aij)ms,B=(bij)sn的乘积记为AB，规定AB=(cij)mn，其中 i=1,2,m，j=1,2,n.注：只有A的列数与B的行数相同,AB才有定义.,例3 设矩阵求AB.解,32,2 矩阵的运算,33,32,2 矩阵的运算,例4 设矩阵求AB及BA.解注：一般的 AO且BO ABO；AB=O A=O或B=O；ABBA.,22,22,22,2 矩阵的运算,性质 设A=(aij)mn，fi为第i个分量为1的m维基本行向量，则,2 矩阵的运算,(2)设A=(aij)mn，ej为第j个分量为1的n维基本列向量，则,2 矩阵的运算,可见当 A=(aij)mn，则EmA=AEn=A.,2 矩阵的运算,运算规律(1)设A=(aij)ms，B=(bij)sk，C=(Cij)kn，则A(BC)=(AB)C；(2)设A=(aij)ms，B=(bij)sn，数,则(AB)=(A)B=A(B)；(3)设A=(aij)ms，B=(bij)sn，C=(Cij)sn，则A(B+C)=AB+AC;(4)设A=(aij)sn，B=(bij)ms，C=(Cij)ms，则(B+C)A=BA+CA;,2 矩阵的运算,4.方阵的幂定义 若AB=BA，则称A,B是可换的.注：若A,B是可换的，则A,B是同阶方阵，反之不一定成立。定义 方阵A的幂：Ak=AAA,A0=E，运算规律：设A为方阵，k,l为自然数，则 AkAl=Ak+l，(Ak)l=Akl；一般地，(AB)k AkBk，但若A,B是可换的，则(AB)k=AkBk.,k个,2 矩阵的运算,例5 设A=，求An.分析,2 矩阵的运算,解 An=()()()=()()()=(3)n-1,n个,n-1个,2 矩阵的运算,注意 一阶方阵与向量的乘法,2 矩阵的运算,定义 设A为方阵规定称为A的矩阵多项式。,2 矩阵的运算,例6 设求f(A).解,2 矩阵的运算,.,2 矩阵的运算,5.矩阵的转置定义2.4 矩阵A的转置矩阵记为AT，规定,2 矩阵的运算,运算规律(AT)T=A；(A+B)T=AT+BT；(A)T=AT；(AB)T=BTAT，(注意ATBT),2 矩阵的运算,例7 设求(AB)T.解,2 矩阵的运算,例7 设求(AB)T.又解,2 矩阵的运算,本节学习要求 熟练掌握矩阵的加法、减法、数乘、矩阵乘法和矩阵的转置运算；熟悉各种运算的性质；会求方阵的幂。作业：习题1.2(A)第1(2)(5),2,3题,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,本节教学内容1.分块矩阵的概念2.矩阵的分块加法运算3.矩阵的分块数乘运算4.矩阵的分块乘法运算5.分块矩阵的转置,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,1.分块矩阵的概念把一个阶数较高的矩阵，用若干条横线和竖线分开成若干小块，每一小块都叫做矩阵的子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵。例子块,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,一个矩阵,根据需要有不同的分块法例注：一行的分块矩阵，各子块间用逗号分开。,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,2.矩阵的分块加法运算例记,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,若两个矩阵A，B同型且有相同的分块法，,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,3.矩阵的分块数乘运算例可见,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,数与分块矩阵的乘积,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,4.矩阵的分块乘法运算设矩阵A=(Aij)ms,B=(Bij)sn，Aik的列数等于Bkj的行数(k=1,2,s)，则AB=(Cij)mn，其中 i=1,2,m，j=1,2,n.例1 设求AB.,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,解 设则,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,而于是,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,如果直接计算，有两种计算结果一样。,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,5.分块矩阵的转置可见,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,分块矩阵的各种运算的结果与不分块的矩阵的各种运算的结果一致，两种运算有相同的运算性质。,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,本节学习要求 理解分块矩阵的概念，了解分块矩阵的加法、数乘分块矩阵、分块矩阵乘法和分块矩阵的转置运算。作业：习题1.3(A)第2题,4 几种特殊的矩阵,本节教学内容1.对角矩阵2.标量矩阵3.上三角形矩阵4.下三角形矩阵5.对称矩阵6.反称矩阵7.分块对角矩阵,4 几种特殊的矩阵,1.对角矩阵主对角线元素外，其它元素均为0的方阵称对角矩阵，简记为A=diag(1,2,n).下面来讨论对角矩阵的性质,O,O,4 几种特殊的矩阵,设则性质任两个对角矩阵的和也是对角矩阵.,4 几种特殊的矩阵,设则性质数乘对角矩阵也是对角矩阵.,4 几种特殊的矩阵,设则性质任两个对角矩阵的积也是对角矩阵.,4 几种特殊的矩阵,设则性质对角矩阵幂也是对角矩阵.,4 几种特殊的矩阵,设则性质对角矩阵的转置矩阵是自身,即对角矩阵.,4 几种特殊的矩阵,定义 设S是一个集合，若S中的元素经某种运算，结果仍然是S的元素，则称S对这种运算封闭。由上述对角矩阵的性质知对角矩阵对矩阵的加法与数乘运算封闭，即对角矩阵对矩阵的线性运算封闭。对角矩阵对矩阵的减法运算封闭。对角矩阵对矩阵的乘法运算封闭。对角矩阵对矩阵的幂运算封闭。注：，.,4 几种特殊的矩阵,2.标量矩阵（数量矩阵）主对角线元素为数a的对角矩阵称标量矩阵，简记为A=aE.性质 标量矩阵对矩阵的线性运算，乘法运算封闭；标量矩阵的转置矩阵是自身。,4 几种特殊的矩阵,3.上三角形矩阵主对角线下方元素均为0的方阵称上三角形矩阵。性质 上三角形矩阵对矩阵的线性运算，乘法运算封闭。,O,4 几种特殊的矩阵,4.下三角形矩阵主对角线上方元素均为0的方阵称下三角形矩阵。性质 下三角形矩阵对矩阵的线性运算，乘法运算封闭；下三角形矩阵的转置矩阵是上三角形矩阵，上三角形矩阵的转置矩阵是下三角形矩阵。,O,4 几种特殊的矩阵,例1 设矩阵则,4 几种特殊的矩阵,例1 设矩阵则,4 几种特殊的矩阵,例 设A,B 均为n阶下三角形矩阵，证明AB 亦为下三角形矩阵。证 设A=(aij)nn,B=(bij)nn均为下三角形矩阵,则当1ij n时，aij=0，bij=0.设AB=(cij)nn，则当1ijn时，cij=ai1b1j+ai2b2j+aiibij+aii+1bi+1j+ainbnj=ai10+ai20+aii0+0bi+1j+0bnj=0.所以AB为下三角形矩阵.#,4 几种特殊的矩阵,5.对称矩阵方阵定义 设A=(aij)nn，若aij=aji(i,j=1,2,n)，则称A为对称矩阵。特征 A是对称矩阵 AT=A.,元素关于主对角线对称 叫做对称矩阵,4 几种特殊的矩阵,性质 对称矩阵对矩阵的线性运算封闭.证 设A,B是对称矩阵，是数，则(A+B)T=AT+BT=A+B;(A)T=AT=A，结论成立。,4 几种特殊的矩阵,例 设A,B是对称矩阵，则AB是对称矩阵的充要条件是A,B可换，证 必要性)设AB是对称矩阵，则(AB)T=AB,又(AB)T=BTAT=BA,AB=BA,即A,B可换.充分性)设A,B可换,即AB=BA，则(AB)T=BTAT=BA=AB,AB是对称矩阵.#可见对称矩阵对矩阵的乘法运算不封闭.,4 几种特殊的矩阵,6.反称矩阵方阵定义 设A=(aij)nn，若aij=-aji(i,j=1,2,n)，则称A为反称矩阵。特征 A是反称矩阵 AT=-A.,元素关于主对角线对称互反 叫做反称矩阵,4 几种特殊的矩阵,性质 反称矩阵对矩阵的线性运算封闭.证 设A,B是反称矩阵，是数，则(A+B)T=AT+BT=-A-B=-(A+B);(A)T=AT=(-A)=-(A)，结论成立。例 设A,B是反称矩阵，则AB是对称矩阵的充要条件是A,B可换，证(AB)T=BTAT=(-B)(-A)=BA.AB是对称矩阵(AB)T=AB AB=BA,即A,B可换.#可见反称矩阵对矩阵的乘法运算不封闭.,4 几种特殊的矩阵,例2 证明任一方阵A均可表示为一个对称矩阵与一个反称矩阵之和.证,4 几种特殊的矩阵,例3 设A是n阶反称矩阵，B是n阶对称矩阵，证明AB+BA是一个n阶反称矩阵.证 因此AB+BA是一个n阶反称矩阵.,4 几种特殊的矩阵,7.分块对角矩阵设n阶方阵A是一个分块矩阵，其主对角线上的子块全是方阵，其余子块均为零矩阵，则称A为分块对角矩阵。性质分块对角矩阵对分块矩阵的线性运算，乘法运算封闭.,4 几种特殊的矩阵,设两个分块对角矩阵,4 几种特殊的矩阵,设分块对角矩阵,4 几种特殊的矩阵,设两个分块对角矩阵,4 几种特殊的矩阵,设分块对角矩阵,4 几种特殊的矩阵,例4 设矩阵求A4.解,4 几种特殊的矩阵,故,4 几种特殊的矩阵,本节学习要求 熟悉对角矩阵、标量矩阵、上三角形矩阵、下三角形矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和分块对角矩阵的概念及其性质，会验证一个矩阵是对称矩阵(或反称矩阵)。作业：习题1.4(A)第3题,5 矩阵的初等变换,本节教学内容1.矩阵的初等变换2.初等矩阵,5 矩阵的初等变换,1.矩阵的初等变换定义5.1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换倍法变换:非零数k乘矩阵的第i行注：倍法行变换记号rik写在上方(或下方),5 矩阵的初等变换,消法变换:非零数k乘矩阵的第i行，然后加到矩阵的第j行上注：消法行变换记号kri+rj写在上方(或下方),5 矩阵的初等变换,换法变换:矩阵的第i行与矩阵的第j行互换注：换法行变换记号rirj写在上方(或下方),5 矩阵的初等变换,下面三种变换称为矩阵的初等列变换倍法变换:非零数k乘矩阵的第j列注：倍法列变换记号cjk写在上方(或下方)倍法列变换记号cjk，倍法行变换记号rik,消法变换:非零数k乘矩阵的第i列，然后加到矩阵的第j列上注：消法列变换记号kci+cj写在上方(或下方)消法列变换记号kci+cj，消法行变换记号kri+rj,5 矩阵的初等变换,换法变换:矩阵的第i列与矩阵的第j列互换注：换法列变换记号cicj写在上方(或下方)换法列变换记号cicj，换法行变换记号rirj,5 矩阵的初等变换,5 矩阵的初等变换,定义 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.性质 初等变换可逆，且变换与其逆变换同类型.注：上述将“r”换成“c”即是列变换的情形。,5 矩阵的初等变换,定义 若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B 等价，记作AB.性质 反身性 AA；对称性 若A B，则BA；传递性 若AB，BC，则AC.定理5.1 设A为mn矩阵，则,标准形矩阵.,5 矩阵的初等变换,例1解,5 矩阵的初等变换,左边的矩阵称为行阶梯形矩阵，它的特点是零行(存在的话)在非零行下方；每行首非零元(即左起第一个非零元素)的下方元素全为零。定理5.2 矩阵经初等行变换可化为行阶梯形矩阵.,行阶梯形矩阵,零行,非零行,标准形矩阵,5 矩阵的初等变换,左边的矩阵称为行最简形矩阵，它的特点零行(存在的话)在非零行下方；每行首非零元为1，其的上、下方元素全为零.定理5.2 矩阵经初等行变换可化为行最简形矩阵.,行最简形矩阵,零行,非零行,5 矩阵的初等变换,下列变换结果是否一样前者后者可见变换顺序不同，结果不同。,5 矩阵的初等变换,2.初等矩阵定义5.2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，即,称倍法矩阵.,5 矩阵的初等变换,称消法矩阵.,5 矩阵的初等变换,称换法矩阵.,5 矩阵的初等变换,初等变换与初等矩阵有如下关系：行变换列变换定理5.3左乘初等矩阵作初等行变换 右乘初等矩阵作初等列变换注：初等矩阵 与 初等变换同类型,5 矩阵的初等变换,初等矩阵的性质：,5 矩阵的初等变换,本节学习要求 掌握矩阵的初等变换方法，熟悉标准形矩阵、行阶梯形矩阵概念，会将一个矩阵化为标准形；理解初等矩阵概念，知道其性质；理解三个定理。作业：习题1.5(A)第1(2)(3)题,