数学课程标准之图形与几何解读.ppt

湖北省教学研究室 孙延洲,2023/10/21,1,图形与几何解读,一、引言,1.几何简介 几何这个词最早来自于希腊语“”，由“”（土地）和“”（测量）两个词合成而来，指土地的测量，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。中文中的“几何”一词，最早是在明代利玛窦、徐光启合译几何原本时，由徐光启所创。当时并未给出所依根据，后世多认为一方面几何可能是拉丁化的希腊语GEO的音译，另一方面由于几何原本中也有利用几何方式来阐述数论的内容，也可能是magnitude（多少）的意译，所以一般认为几何是geometria的音、意并译。,最古老的欧氏几何是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，共13卷，基于一组公设和定义，人们在公设的基础上运用基本的逻辑推理构做出一系列的命题。可以说，几何原本是公理化系统的第一个范例，对西方数学思想的发展影响深远。23个定义作为基础的五条公设和公理五条公设 1.从任一点到任一点作直线是可能的；2.把有限直线不断循直线延长是可能的；3.以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的；4.所有直角都相等；5.若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限短长后必相交于该侧的一点。五条公理：1.跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的；2.等量加等量，总量仍相等；3.等量减等量，余量仍相等；4.彼此重合的东西是相等的；5.整体大于部分。古今数学思想第一册第69页 M克莱因著 张理京等译,2023/10/21,4,2.近现代几何课程改革回顾 几何课程历来是改革的重点内容之一。19世纪末、20世纪初的“克莱茵贝利”运动中，德国数学家克莱茵（F.Klein）就主张用几何变换的观点改造传统的欧氏几何。在20世纪中叶的“新数运动”中，欧氏几何在中学数学中更是所剩无几。法国布尔巴基学派主要人物狄奥东尼（J.A.Dieadonne）甚至喊出了“欧几里得滚出去”的口号。在这次运动中，许多国家将平面几何和立体几何合并，用几何变换和线性代数来处理。然而，由于种种原因，改革没有达到预期的目标。在1980年的ICME-IV大会上，数学家们对“新数运动”的成败作出了合理的评价，尤其是对中学阶段为什么要学习几何课程进行了反思，认识到几何教学并不是一件容易的事，对于几何教学中的困难、问题，仅仅采取毫无替代地删除是不可取的。,20世纪80年代以来，各国数学教学普遍把平面几何和立体几何的内容进行整合，更多地采用直观和非形式化的手段，教学内容更紧密地联系学生的生活和社会发展，大量使用信息技术，强调几何建模、合情推理与几何思想。我国建国至今，教学大纲进行过多次修改，但几何课程改动不大，平面几何和立体几何一直是分别安排在初中和高中讲授，初中平面几何内容主要是运用演绎推理的方法、依据扩大的公理化体系证明一些平面图形的性质，强调逻辑、强调演绎推理，忽视几何直观、忽视合情推理，使得学生的空间观念、空间想象力难以得到真正有效的发展。许多中学生学不好几何，不喜欢几何。1952年7月中学数学教学大纲（草案）规定的几何内容为356课时，占数学课总课时的29.3%；1978年六年制重点中学数学教学大纲规定的几何内容为326课时，占数学总课时数的30.2%；1990年颁布几经修改的全国数学教学大纲，几何教学内容为319课时，占数学总课时的36.7%；1992年上海中小学课程教材改革委员会制订的新课程标准（草案）中，几何内容为356课时，占数学总课时的36.0%。在历届各地高中入学考试的试卷中，涉及到几何内容的试题得分要占整卷总分的40%左右，而在高等学校入学考试的试卷中，涉及到几何的试卷在整卷中的占分，则总要保持在30%上下，由此可见，虽然在这段时期，中国几何教学的内容、处理方式、教学方法等都有了巨大的变化同，但作为中学数学教学的一个组成部分，几何（主要是演绎几何）的地位，总是相当的牢固的。,二、新课标几何课程改革,1.传统的几何课程 传统的几何课程历来被看成是培养学生思维能力，尤其是逻辑思维能力的极好素材，其内容几乎是计算和演绎证明，以证明为主要内容的几何课程主要由概念、公理、定理和逻辑的思考方法组成，重在形式化，内容单调。教材的安排严格按着欧氏几何的公理化体系：一条线（两点确定一条直线）两条线（研究同一平面内两条直线的位置关系，引入平行公理）三条线（三角形的概念、特殊三角形的性质，全等三角形，解直角三角形等）四条线（四边形的概念、特殊四边形的性质）相似形（主要研究相似三角形）多条线（多边形）圆（多边形的极限）。,几何课程的国际趋势 强调几何建模过程；几何推理的要求发生变化；“空间与图形”内容的整合；现代信息技术成为几何课程的“平台”。另外，空间观念是创新精神所需要的基本要素，没有空间观念几乎谈不上创新，传统的几何很难找到空间的内容，因此几何课程要：明确空间观念的意义、认识空间观念的特点、发展学生的空间观念。,2.新课标实验稿空间与图形,课程目标比较,课程内容比较,（1）以往大纲重点是学习平面几何图形知识，这种学习是完全按着欧氏几何的公理体系，纯逻辑地进行；新标准增加了变换和坐标方面的知识，使学生对平面图形的认识有了新的视角、新的方法，这对丰富学生的知识面，培养学生的思维灵活性是大有益处的；（2）以往大纲虽然也提出了实践方面的要求，但不具体，新标准则明确提出了实践方面的要求，如利用坐标确定物体的位置，利用变换设计图案，加强测量的实践性等；（3）以往大纲强调逻辑推理，以培养学生的逻辑推理能力为主要目的，而新标准充分考虑到人的认识规律，减少了大量繁难的几何证明题，淡化几何证明的技巧，降低了论证过程形式化的要求和证明的难度，将逻辑证明的重点放在了体会证明的必要性、理解证明的基本过程、掌握用综合法证明的格式以及初步感受公理化思想上，加强了合情推理的要求，强调几何直观与理性精神；（4）新标准加强了学生学习方式的指导，强调合作交流和研究性学习，加强了几何建模以及探究过程，以培养学生的交流能力和研究意识；（5）新标准增加了“空间与图形”的文化价值方面的要求，如“感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值”（图形与证明部分的叙述）。,加强的方面 强调内容的现实背景，联系学生的生活经验和活动经验；加强对图形的探索过程；加强了“图形变换”和“位置的确定”的有关内容；加强合情推理，调整“证明”的要求，强化理性精神。削弱的方面 削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明；删去了大量繁难的几何证明题，淡化几何证明的技巧，降低了论证过程形式化的要求和证明的难度。对全体学生而言，关于证明的基本要求应控制在标准所规定的范围内。,3.新课标修订稿图形与几何,增强了“图形与几何”内容的条理性，进一步阐述了合情推理和演绎推理的关系，强调了几何证明表述方式的多样性。第三学段内容 结构调整：整合了标准中“图形的认识”与“图形与证明”两部分，合并为“图形的性质”。由标准的四部分变为“图形的性质”、“图形的变化”、图形与坐标”三部分。这种变化有利于学生在探索发现、操作确认、推理证明的过程中，体现两种推理（合情推理与演绎推理）相辅相成的关系。图形的性质：明确了9条基本事实。增加了“两点确定一条直线”、“两点之间线段最短”、“一点有且只有一条直线与这条直线垂直”、“直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”、“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”；将“两直线平行，同位角相等”，不再作为基本事实，而作为定理加以证明，证明过程作为选学内容，不作考试要求。为适当加强逻辑推理，增加了下列定理的证明：相似三角形的判定定理、垂径定理，圆周角定理及推论，切线长定理。但是，不要求运用这些定理证明其他命题。对于“证明”，不仅要求“知道证明的意义和必要性，知道证明要合乎逻辑”，而且要求“知道证明的过程可以有不同的表达形式”。强调证明除了用简化了的三段论证表达外，还可以采用其他符合学生思维过程的表达形式。,删去了有关梯形的内容。“尺规作图”中增加了“过一点作已知直线的垂线”、“作三角形的外接圆、内切圆”、“作圆的内接正方形和正六边形”。要求了解作图的道理，不要求写出作法。使一些目标的表述更加准确和完整。例如将“通过丰富的实例，进一步认识点、线、面”改为“通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等”。图形的变化 将标准中“图形的认识”里的“视图与投影”内容移入到此部分，改名为“图形的投影”，突出了图形的变化，强调了图形的运动是研究图形性质的一种有效方法。图形的平移、图形的旋转、图形的轴对称的一些要求更加明确，表述更加清晰。降低了对图形的投影的要求，删除了“视点”、“视角”、“盲区”、“阴影”等内容。图形与坐标 这部分包括两大内容：坐标与图形位置、坐标与图形运动。比标准的内容有所增加，要求也更加具体、明确。,三、对几何教学的几点建议,1加强对数学教学目的的理解价值引导;自主建构.一个理念：以生为本尊重、关爱、理解、信任；两个发展：为学生的全面发展和终身发展奠定基础；三个维度：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观。“过程的教育”不仅仅是指在授课时要讲解、或者让学生经历知识产生的过程，甚至不仅是指知识的呈现方式。而是探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程，等等。世界有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历。智慧并不完全依赖知识的多少，而依赖知识的运用、依赖经验，你只能让学生在实际操作中磨练。（关注过程，关注智慧）请考生在狗窝、松鼠树、海狸坝、猫纸盒和书图书馆这五对名词中挑一个与鸟巢最可类比的。,关于宏观评价心中有课程，心中有学生，心中有数学。关于微观评价目标明确；思路清晰；层次分明；引人入胜。,理想的课堂应是和谐安全的课堂，应该是：他讲错了，没有关系他提出问题，有人关注他不认同教师，不会受批评他对教材有异议，也没人指责当他学习困难时，有人资助当他取得成功时，会得到诚挚祝福当他标新立异时，会得到大家喝彩,2.新课程数学课堂结构的基本形式,“探究性学习”教学模式：观察（实验)探究讨论（归纳）应用创新”问题引导学习，教学重心前移；典型丰富例证，提供概括时机；保证思考力度，加强思想联系；使用变式训练，强调反思迁移。-章建跃,3.理解图形与几何教学的三个基本阶段,（1）初步建立空间观念,发展几何直觉;（2）探索物体与图形的基本性质;（3）掌握基本的推理技能.知识与技能：经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题.数学思考：经历运用图形描述现实世界的过程，丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维；经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能合理、清晰地阐述自己的观点解决问题：逐步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识；形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神；学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果，逐步形成评价与反思的意识,4.关注图形与几何入门关键点,（1）强调学生的动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、想象、交流等活动中认识图形，发展空间观念。观察 思考 探究 数学活动 强调学生观察、实验 强调由特殊到一般的认识过程（求多边形内角和：三角形 四边形 五边形 六边形 n边形）（2）重视几何语言的培养和训练 文字语言、符号语言、图象语言 几何模型图形文字符号 符号文字图形,5.注重推理能力的培养,（1）注意减缓坡度，循序渐进，开始阶段，证明的方向明确，过程简单，书写容易规范化。（2）安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于学生掌握。（3）注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。培养学生推理证明的依据；培养学生推理证明的方法。基础性、普及性、发展性选择习题的要求针对性：要抓住本节课（本节、本章）内容的核心，促进概念的理解和思想方法的生成。有效性：要关注通性通法，抓住基本概念，不要在技巧上做文章。代数部分要注意适当加强运算的训练。创新性：题目要有新意，教材建设就是不断继承发展的过程。要注意不离开内容本质这个“根”，不是奇、特；要体现真正的应用，不要人为编造。层次性：要关注层次和梯度，理解教材有关习题的各部分、各栏目的要求，形成一个立体化的训练系统。精确性：不仅要保证科学性和准确性，而且要尽量达到精确。要把握所选习题是否能达到训练效果，题目要仔细推敲，不能有歧义。,6.其他几个应关注的问题,（1）注意几何证明的规范性 教科书进行规范证明 要求学生自己证明 推理得出性质 注意复习已有知识，新旧结合，加强解决问题思路的分析。证明一个几何中的命题有以下步骤：（1）根据题意，画出图形；（2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证。（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明的过程。,（2）重视知识间的联系 全等的知识 全等图形的性质 相似图形的性质 全等三角形的判定方法 相似三角形的判定方法 类比和对比 类比研究多边形内角和，利用相似三角形面积关系得到相似多边形面积关系（3）准确把握教学要求，循序渐进地教学不搞“一步到位”；删减的内容不要随意补充；教辅材料不能作为教学的依据；把更多的注意力放在核心概念、基本数学思想方法上；找好的问题；追求通性通法，不追求“特技”,四、结语,数学是人类最杰出的智慧结晶，也是人类精神最富独创性的产物。音乐能激起或平静人的心灵，绘画能愉悦人的视觉，诗歌能激发人的感情，哲学能使思想得到满足，工程技术能改善人的物质生活，而数学则能够做到所有这一切。-M克莱因,2023/10/21,22,返回,增加的内容会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义了解平行于同一条直线的两条直线平行会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类了解并证明圆内接四边形的对角互补；了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系尺规作图：过一点作已知直线的垂线；已知一直角边和斜边作直角三角形；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形*了解平行线性质定理的证明*探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧*探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等*了解相似三角形判定定理的证明,图形与几何领域,删去的内容关于等腰梯形的相关要求探索并了解圆与圆的位置关系关于影子、视点、视角、盲区等内容，以及对雪花曲线和莫比乌斯带等图形的欣赏等关于镜面对称的要求,返回,图形与几何,返回,