数学理科课件与练习数学第八章.ppt

第八章 圆锥曲线,http:/,目 录,8.1椭圆8.2 双曲线8.3 抛物线8.4 曲线与方程8.5直线与圆锥曲线的位置关系本章总结,http:/,高 端考 向 透 析,http:/,http:/,http:/,http:/,http:/,http:/,讲解椭圆的定义时，须强调限制条件“大于|F1F2|”；而对于椭圆的方程，要注意讲述清楚方程与焦点位置的关系；对于椭圆的几何性质，则可引导学生数形结合，通过画图去理解和记忆,导 学 建 议,自 主基 础 构 建,8.1椭圆,http:/,1椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(大于|F1F2|)的点P的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|MF2|2a.,知 识 梳 理,http:/,【探究与思考】若去掉限制条件“大于|F1F2|”，则点P的轨迹是什么图形？【提示】当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，点P的轨迹为椭圆；当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，点P的轨迹不存在；当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，点P的轨迹为以F1、F2为端点的线段2椭圆的标准方程及其简单几何性质,http:/,http:/,【温馨提示】(1)给出椭圆方程 1时，判断椭圆焦点的位置的方法是：椭圆的焦点在x轴上mn；椭圆的焦点在y轴上nm.(2)利用椭圆的方程讨论其几何性质时，一般要把方程化为标准形式，以确定焦点的位置及a，b的值【探究与思考】椭圆的离心率e的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？【提示】e越接近于1，椭圆越扁；e越接近于0，椭圆越接近于圆,http:/,达 标 自 测,http:/,http:/,http:/,http:/,http:/,【交流感悟】_,http:/,本节的重点是：椭圆的定义、标准方程及几何性质，讲解时要注意讲清、讲透椭圆定义在解题中的广泛应用；对于椭圆标准方程的求解，则可重点讲解待定系数法及“定位、定量”的解题思路；可通过强化训练来突破椭圆综合问题的求解关,导 学 建 议,互 动方 法 探 究,http:/,类型一椭圆的定义及应用【温馨提示】椭圆的定义在解题中具有广泛的应用，在一些与焦点有关的计算问题(特别是焦点三角形问题)及轨迹的判断问题中经常使用应用椭圆的定义解题时要注意充分挖掘动点到两定点距离之和为常数这一特征，数形结合，直观获解,典 例 研 习,http:/,例1,http:/,http:/,【点评】【点评】(1)一般地，遇到与椭圆的焦点有关的问题都可以考虑用椭圆的定义来解决；(2)解决椭圆的焦点三角形问题的基本策略为：紧扣椭圆的定义，结合正弦或余弦定理等解三角形知识，并在解答中合理使用方程和整体思想,http:/,B两点，试求ABF2的周长；(3)在第(2)小题中，去掉条件“F1PF260”，试求PF1F2的面积的最大值【提示】(1)略(2)长半轴a10，ABF2的周长为4a40.(3)当点P位于短轴的顶点时，所求三角形的面积S最大，且最大值为48.,http:/,类型二求椭圆的标准方程,http:/,例2,http:/,【切入思维】利用待定系数法设出方程，再设法求出方程中的基本量a，b，还需指出的是，求解时要注意椭圆焦点的位置,http:/,http:/,http:/,http:/,类型三椭圆的几何性质【温馨提示】主要题型有两类：一类是根据椭圆方程研究椭圆的几何性质，如求椭圆的离心率、范围等，另一类是根据椭圆的几何性质，综合其他知识求椭圆方程或研究其他问题，这一类题型合理利用性质是关键,http:/,例3,http:/,http:/,【答案】(1)B(2)6,http:/,(2)解决与椭圆上动点相关的最值问题(取值范围问题)的常见方法有定义法(如本讲例1)和函数法，若利用函数法求解，应注意动点坐标的取值范围【变式与思考】(1)怎样处理解析几何中的垂直问题，常见方法有哪些？(2)第(2)小题条件不变，试求x2y2x的最小值【提示】(1)向量法(数量积为0)，斜率法(斜率之积为1)等；(2)当x1时，x2y2x取得最小值.,http:/,类型四椭圆的综合应用【温馨提示】椭圆常与平面向量、不等式等知识相结合，命制综合题，其中热门题型有二：(1)椭圆与平面向量的交汇题，求解此类试题要特别注意平面向量的工具性作用，一般地，研究夹角问题可从数量积入手；研究长度问题可从模的运算性质入手；研究共线、,http:/,共点问题则应从实数与向量的积入手比如，用数量积为零处理垂直问题，就比用斜率简单得多(2)椭圆中的一些综合性较强的最值或范围问题，对于此类问题，一是要善于运用椭圆的定义及几何性质进行分析求解；二是要根据条件建立等式或不等式，再求参数范围，其中要注意椭圆范围的应用,http:/,例4,http:/,http:/,http:/,http:/,http:/,【点评提升】(1)本题第(1)问是一个是否存在性问题，解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳或由演绎推理证明其合理性探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素(2)第(2)问是参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力，此类试题在历年高考中占有较稳定的比重,http:/,同类训练,http:/,http:/,http:/,http:/,高 考 排 雷,例1,http:/,http:/,三 年 高 考,http:/,http:/,http:/,http:/,http:/,http:/,【考题赏析】本题综合考查椭圆的定义及标准方程、简单几何性质以及点到直线的距离公式等基本知识，考查解析几何的基本思想、综合运算能力其中第(2)问为角平分线问题，难度稍大，求解的关键是利用角平分线的几何意义，即角平分线上的点到角两边的距离相等,http:/,感悟提升1熟悉和掌握a、b、c、e的关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效2由给定条件求得椭圆方程，常用待定系数法，步骤是：定型确定曲线形状；定位确定焦点位置；定量由条件求a、b、c，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏3解与椭圆的焦半径、焦点弦有关问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑：椭圆的焦半径的取值范围是ac，ac,http:/,4离心率是圆锥曲线的一个重要参数，同时也是高考的“常客”求椭圆的离心率有一定的难度，下面给出突破此难点的常见方法：(1)公式法，已知椭圆的标准方程或a、c易求时，常用离心率公式e 直接求解(2)方程法，若根据题设条件，易得出a、b、c之间的关系式，则常进一步构造出a，c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程求得离心率,http:/,创 新预 测 演 练,Loading,http:/,讲述本节内容时，要注意将双曲线与椭圆进行类比，寻找两种曲线的区别与联系，从而提高课堂效率通过类比，让学生重点掌握双曲线的定义、标准方程以及几何性质，此外，还应注意双曲线特有的几何性质渐近线，并注意引导学生总结渐近线方程与双曲线方程之间的关系,导 学 建 议,自 主基 础 构 建,8.2双曲线,http:/,1双曲线的定义 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数2a(小于|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距若M为双曲线上任意一点，则有|MF1|MF2|2a.,知 识 梳 理,http:/,【探究与思考】当定义中的常数等于|F1F2|或大于|F1F2|时，动点P的轨迹分别是什么图形？【提示】当2a|F1F2|时，|PF1|PF2|2a表示两条射线；当2a|F1F2|时，|PF1|PF2|2a不表示任何图形2双曲线的标准方程和几何性质,http:/,http:/,http:/,1动点P到定点F1(1,0)的距离比它到定点F2(3,0)的距离小2，则点P的轨迹是()A双曲线 B双曲线的一支C一条射线 D两条射线【解析】由条件，知|PF2|PF1|2，且|F1F2|312，故点P的轨迹为一条射线【答案】C,http:/,达 标 自 测,http:/,【答案】A,http:/,【答案】A,http:/,【答案】A,http:/,http:/,【交流感悟】_,http:/,与椭圆类似，双曲线的定义、标准方程及几何性质是本节的重点，对于其定义应侧重讲解它在解题中的广泛应用，尤其是焦点三角形问题；对于双曲线标准方程的求解，仍可将讲解的重点放在待定系数法上；双曲线的几何性质中，则要特别注意离心率和渐近线问题的讲解，并引导学生自己总结相关解题规律另外在学习中，还可将双曲线与椭圆进行类比，以提高课堂效率,导 学 建 议,互 动方 法 探 究,http:/,类型一双曲线的定义及应用【温馨提示】双曲线的定义在解题中具有广泛的应用，在一些与焦点有关的计算问题(特别是焦点三角形问题)及轨迹的判断问题中经常使用在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，若无“绝对值”，则只表示双曲线中的某一支,典 例 研 习,http:/,例1,http:/,【切入思维】(1)利用相切时圆心距与两个圆半径的关系找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解；(2)利用双曲线的定义及|PF1|PF2|32，可以先求得|PF1|和|PF2|，再设法求三角形的面积【解答】动圆M与两圆C1、C2都相切，有四种情况：动圆M与两圆都相外切；动圆M与两圆都相内切；动圆M与圆C1外切、与圆C2内切；动圆M与圆C1内切、与圆C2外切,http:/,http:/,【答案】(1)D(2)B【点评】(1)本例两道小题都用到双曲线的定义，熟练掌握双曲线定义和数形结合的思想非常重要；(2)与椭圆类似，解决双曲线中的焦点三角形问题的基本策略可概括为：紧扣双曲线的定义，结合正弦或余弦定理等解三角形知识，并在解答中合理使用方程和整体思想【变式与思考】(1)将(1)中条件改为“动圆M与圆C1：(x3)2y24外切，同时与圆C2：x2y26x910内切”，试求动圆圆心M的轨迹方程；(2),http:/,http:/,http:/,类型二类型二双曲线的标准方程【温馨提示】求双曲线标准方程的方法主要有：(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应的a、b、c即可求得方程；(2)待定系数法，其步骤是定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；定值：根据题目条件确定相关的系数若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，则可设双曲线方程为一般式：mx2ny21(mn0),http:/,【切入思维】(1)利用双曲线的一般式求解；(2)先判断焦点位置再求解；(3)可先判断双曲线焦点的位置，设,例2,出双曲线的标准形式，然后通过渐近线与双曲线过的定点建立关于a、b的方程求解本题还可以根据渐近线方程直接设双曲线方程为x24y2m(m0)，然后代点求解,http:/,http:/,http:/,【答案】(1)1(2)4(3)y21,http:/,类型三值域或最值的综合运用【温馨提示】函数的值域或最值，常与不等式，方程或函数的其他性质综合，解决此类题型时要注意遵循“定义域优先”的原则，要注意换元，凑配等技巧，从而将问题简化,【点评】(1)将方程设为通式，可代表双曲线方程的两种类型，避免讨论；(2)研究含参数双曲线要注意焦点位置的判断和分类讨论；(3)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程一样，主要有直接法与间接法两种但求解时还须根据题目的实际条件，对双曲线方程有不同的设法，可以达到快速解题的目的，如本小题法二就是利用公共渐近线的双曲线系来巧设的,http:/,http:/,类型二类型二双曲线的标准方程【温馨提示】求双曲线标准方程的方法主要有：(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应的a、b、c即可求得方程；(2)待定系数法，其步骤是定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；定值：根据题目条件确定相关的系数若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，则可设双曲线方程为一般式：mx2ny21(mn0),http:/,类型三双曲线的几何性质【温馨提示】双曲线的几何性质涉及到“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两形”(中心、焦点与虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形)，明确a，b，c的几何意义及它们的相互关系，容易使我们快速找到问题的切入点,http:/,例3,【切入思维】(1)利用“ABE是锐角三角形”这一条件构造不等式关系并进一步得到关于离心率e的不等式，解之即得所求；(2)先利用双曲线的几何性质求得双曲线的方程，再利用向量的数量积公式直接求解【解答】(1)由ABx轴，所以ABE为等腰三角形，又ABE是锐角三角形，所以AEB为锐角，,http:/,http:/,http:/,【点评提升】含有字母的二次函数求值域时，讨论标准有两个：二次项系数，对称轴位置若两者交叉，则先考虑二次项系数,【答案】(1)B(2)C【点评】(1)与椭圆的离心率类似，双曲线的离心率问题的求解策略主要有二：公式法，已知双曲线的标准方程或a，c易求时，常用离心率公式e 直接求解；方程法，若根据题设条件，易得出a，b，c之间的关系式，则常进一步构造出a，c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程求得离心率e.(2)要特别注意等轴双曲线的几何性质：等轴双曲,http:/,线x2y2a2的渐近线方程为yx，离心率e.【变式与思考】(1)求双曲线离心率e的取值范围的关键是什么？(2)将第(1)小题中的条件“ABE是锐角三角形”改为“ABE是等腰直角三角形”，试求此时双曲线的离心率e.【提示】(1)找出与a，b，c相关的不等式，并构造出关于a，c的齐次不等式；(2)e2.,http:/,http:/,类型四双曲线的综合应用【温馨提示】与椭圆类似，双曲线也常与平面向量、数列、解三角形、不等式等知识相结合来命制综合题，其中热门题型有二：(1)双曲线与平面向量的交汇题，求解此类试题要特别注意平面向量的工具性作用，一般地，研究夹角问题可从数量积入手；研究长度问题可从模的运算性质入手；研究共线、共点问题则应从实数与向量的积入手比如，用数量积为零处理垂直问题，就比用斜率简单得多,http:/,(2)双曲线中的一些综合性较强的最值或范围问题，对于此类问题，一是要善于运用双曲线的定义及几何性质进行分析求解；二是要根据条件建立等式或不等式，再求参数范围，其中要注意双曲线范围的利用,http:/,例4,http:/,http:/,http:/,http:/,http:/,已知双曲线焦点在x轴上，中心为坐标原点O，左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，且，F1F2P90.(1)求双曲线的离心率；(2)若过F1且斜率为1的直线l与双曲线的两渐近线分别交于A、B两点，AOB的面积为，求双曲线的方程,同类训练,http:/,http:/,http:/,高 考 排 雷,例1,http:/,http:/,三 年 高 考,【考题赏析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题求圆锥曲线的标准方程通常利用待定系数法求解，注意双曲线中c最大,http:/,【解析】过F2作F2APF1于A，由题意知|F2A|2a，|F1F2|2c，则|AF1|2b，|PF1|4b，而|PF1|PF2|2a，4b2c2a，c2ba，c2(2ba)2，,http:/,http:/,http:/,感悟提升,http:/,http:/,创 新预 测 演 练,Loading,http:/,对于抛物线的定义，要注意强调定点不能在直线上；而抛物线的标准方程有四种，学生容易混淆，故在教学也要讲清楚抛物线方程形式与其焦点位置的关系；抛物线的几何性质应用较为广泛，尤其是焦点弦的性质，教学中要注意推导,导 学 建 议,自 主基 础 构 建,8.3 抛物线,http:/,1抛物线的定义平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线，定点F叫做抛物 线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线【探究与思考】当定点F在直线l上时，动点的轨迹是什么图形？【提示】过点F且与直线l垂直的直线,知 识 梳 理,http:/,http:/,【温馨提示】(1)抛物线的标准方程与焦点的位置关系：标准方程中一次项的变量为x(或y)，则焦点在x轴(y轴)上；若一次项系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上(2)抛物线的开口方向与焦点的位置关系：焦点在x(或y)轴的正半轴上，开口向右(向上)，焦点在x(或y)轴的负半轴上，开口向左(向下)3抛物线的几何性质,http:/,(1)抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线有1条对称轴，抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，抛物线有1个顶点，抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为1.(2)在抛物线y22px(p0)上，通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为(，p)，(，p)，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p.,http:/,http:/,【温馨提示】(1)抛物线的几何性质的特点：只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；(2)抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离,http:/,http:/,1(2008年北京)若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线D抛物线【解析】由题意知，点P到直线x2的距离等于它到点(2,0)的距离，符合抛物 线的定义【答案】D,达 标 自 测,http:/,2(2010年安徽)抛物线y28x的焦点坐标是_【答案】(2,0),http:/,http:/,4抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线相交于点A，|AF|5，则抛物线的标准方程为_【答案】y22x，y218x,5已知AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦，F为抛物线焦点，A(x1，y1)、B(x2、y2)，求证：(1)x1x2；(2)|AB|x1x2p(为直线AB与x轴的夹角)；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切,http:/,http:/,http:/,http:/,http:/,【交流感悟】_,http:/,与其他圆锥曲线问题相比，与抛物线相关的试题的计算较为简单，因而倍受命题者青睐，因此教学中要特别注意本节题型的讲解与解题方法的归纳，教学中可把讲解重点放在抛物线方程的求解、抛物线的几何性质的应用上，并通过适当的题组训练加以巩固,导 学 建 议,互 动方 法 探 究,http:/,类型一抛物线的定义及应用【温馨提示】抛物线的定义是解决抛物线问题的基本方法，也是一个捷径，涉及到抛物线的焦半径、焦点弦问题，都可以优先考虑到用抛物线的定义实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，这样往往可以使问题简单化,典 例 研 习,http:/,例1,http:/,【切入思维】(1)先由点A的坐标求出参数p，a，再利用抛物线的定义结合韦达定理求|FA|FB|；(2)根据抛物线的定义，可将点P到准线的距离转化为点P到焦点的距离，从而转化为求点P到两个定点的距离之和的最小值【解答】(1)把A(1,2)代入y22px，得2p4，y24x，焦点F(1,0)，准线x1.把A(1,2)代入axy40，得a2，直线方程为y2x4.,http:/,【答案】(1)A(2)A【点评】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说，用定义的问题都与焦半径问题相关【变式与思考】(1)求解诸如第(1)小题这样的直线与二次曲线相交的问题的基本策略是什么？(2)将第,http:/,(2)小题中的点A的坐标改为A(3,2)，焦点记为F，求|PA|PF|的最小值及此时点P的坐标【提示】(1)设出交点坐标但不求(即设而不求)，再利用韦达定理整体求解(2)最小值为，此时点P的坐标为(2,2),http:/,http:/,类型二抛物线的标准方程【温馨提示】求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法抛物线的标准方程有四种形式，因此在设方程形式之前，首先要确定抛物线的焦点位置当抛物线的焦点位置不明确时，可分类讨论，也可利用统一设法：焦点在x轴上的抛物线方程设为y22ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线设为x22ay(a0),http:/,例2,http:/,http:/,【点评】这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解【变式与思考】(1)若已知抛物线上一点(原点除外)，则求其标准方程一般能得到几个不同方程？具体求解时应注意什么？(2)第(1)小题中求出的抛物线的焦点坐标是什么？(3)已知抛物线的焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5，试求抛物线的标准方程,http:/,http:/,类型三抛物线的几何性质【温馨提示】与抛物线的几何性质有关的题型主要有两类：一是已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程，此时要注意先看抛物线方程是否是标准方程，若不是，需先将方程化为标准方程；二是利用抛物线的几何性质求解一些诸如轨迹、最值、参数取值等问题，此类问题主要考查抛物线几何性质的灵活运用，尤其要注意抛物线焦点弦性质的巧用,http:/,设抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明直线AC经过原点O.【切入思维】证直线AC经过原点O，即证O、A、C三点共线，为此只需证kOCkOA.本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决,例3,http:/,http:/,【点评】本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到yAyBp2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何题目,http:/,【变式与思考】(1)你还能想出其他证法吗？(2)在本题中，设A、B在抛物线准线上的射影为A1、B1，求A1FB1的大小(3)在本题中，设C、D为抛物线上的两点，且COD90(O为原点)，求直线CD必过的定点坐标【提示】(1)略(2)90.(3)直线CD必过定点(2p,0),http:/,http:/,类型四抛物线的综合应用【温馨提示】给定抛物线，将它的焦点或准线融合在其他知识中考查是高考的常考题型：(1)常见的是将抛物线与其他二次曲线(圆、椭圆或双曲线等)综合，着重考查两种不同曲线间的位置关系、性质以及参数取值的问题，熟练掌握各种圆锥曲线的定义及性质是解题关键；(2)与平面向量融合在一起，考查向量的坐标运算等，此类题型要特别注意向量的工具性作用以及抛物线定义的转化功能将点到焦点的距离转化为点到准线的距离,http:/,例4,http:/,http:/,http:/,http:/,http:/,http:/,http:/,http:/,同类训练,http:/,http:/,http:/,高 考 排 雷,例1,http:/,http:/,(2010年上海)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则点P的轨迹方程是_【解析】由题意知，P的轨迹是以F(2,0)为焦点，以直线x20为准线的抛物线，所以p4，得出抛物线方程为y28x，即为所求【答案】y28x,三 年 高 考,【考题赏析】本题来源于课本的一道例题，不同的是课本为解答题，此处为填空题，这充分体现了高考命题立足于课本而又高于课本的理念本题也可不考虑抛物线的定义，而是直接列出一个含根号的方程，但此法化简的计算量较大,http:/,http:/,2(2010年辽宁)设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|等于()A4B8C8D16,【答案】B【考题赏析】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线等基础知识，此类与焦半径有关的问题要特别注意回归定义，如本题求解的关键便是利用定义将|PF|转化为求|AF|.,http:/,3(2009年山东)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()Ay24xBy28xCy24x Dy28x,http:/,【答案】B,http:/,http:/,感悟提升1求抛物线的标准方程的方法主要有两种：(1)直接法，即根据抛物线的几何性质直接求出p的值，但是求解时，必须首先明确焦点的位置；(2)待定系数法，主要适用于求过一个已知点的抛物线的标准方程2注意巧设方程简化解题过程，求抛物线标准方程应抓住焦点位置和开口方向，当题目条件不能确定,http:/,抛物线开口方向时，一般应分类讨论但是对于已知焦点位置在哪条坐标轴上，而开口方向不定时，可采用如下设法：焦点在x轴上，抛物线标准方程可设为y2ax(a0)；焦点在y轴上，抛物线标准方程可设为x2ay(a0)3在解题过程中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化,http:/,4解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，此外还应该注意焦点的几何性质 5由于抛物线的离心率e1，所以与椭圆及双曲线相比，它有许多特殊的性质，而且许多性质是可以借助平面几何的知识来解决的，因此解题时要特别注意数形结合思想的运用,http:/,创 新预 测 演 练,Loading,http:/,曲线与方程的概念中，要注意通过实例讲清轨迹的纯粹性与完备性；要注意帮助学生归纳求曲线(点的轨迹)方程的几种基本方法及操作步骤，对于直接法，要提醒学生第五步证明可以省略,导 学 建 议,自 主基 础 构 建,8.4 曲线与方程,http:/,1曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：(1)(纯粹性)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)(完备性)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上,知 识 梳 理,http:/,的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线【温馨提示】定义的理解：设P具有某种性质的点，Q(x，y)|f(x，y)0，若设点M的坐标为(x0，y0)，则上述定义中的两条关系还可以表述为：(1)MP(x0，y0)Q，即PQ；(2)(x0，y0)QMP，即QP.【探究与思考】如果曲线与方程只满足条件(2)，会出现什么情况？若只满足条件(1)呢？,http:/,【提示】若只满足第(2)个条件将会出现曲线上的某些点的坐标不满足方程，即出现杂点，若只满足条件(1)，则将会有某些以方程的解为坐标的点不在曲线上，即出现漏点2求简单的曲线方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，设曲线上任意一点(即动点)M的坐标；(2)写出适合条件P的点M的集合；(3)用坐标表示集合得出方程；,(4)化方程f(x，y)0为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点【温馨提示】要注意“求动点的轨迹方程”与“求动点的轨迹”的区别，前者只须求出轨迹的方程，标出变量x，y的范围；后者除求出方程外，还应指出该轨迹是什么图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关的数据【探究与思考】求曲线方程的五个步骤缺一不可吗？,http:/,【提示】最后一步证明往往可以省略 3由方程画曲线(图形)的步骤(1)考察曲线关于x轴、y轴或原点的对称性；(2)求截距：曲线与x轴和与y轴的交点坐标；(3)讨论曲线的范围；(4)列表、描点、画线 4两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组,http:/,5曲线系方程 过曲线f1(x，y)0和曲线f2(x，y)0的交点的曲线系方程为f1(x，y)f2(x，y)0(R),http:/,http:/,1已知坐标满足方程F(x，y)0的点都在曲线C上，那么()AC上的点的坐标都适合方程F(x，y)0B凡坐标不适合F(x，y)0的点都不在C上C不在C上的点的坐标必不适合F(x，y)0D不在C上的点的坐标有些适合F(x，y)0,达 标 自 测,http:/,【解析】举特例：坐标满足方程yx的点都在曲线C：(xy)(xy)0上，可曲线C上却存在不满足yx的点，如xy0时，因此否定A、B，同时满足方程yx的点必满足(xy)(xy)0，否定D.【答案】C,2曲线C：F(x，y)0上的任意点P(x，y)都满足方程F(x，y)0，则曲线C一定()A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称 D无对称性【解析】一般地点(x，y)与点(x，y)关于原点对称，所以曲线C关于原点对称【答案】C,http:/,3若a(0,1，则曲线yx2与x2(ya)21的交点个数是_【解析】将yx2代入x2(ya)21，得y2(12a)ya210.(1)若a1，则y2y0，y1或y0，x有三个解，两曲线有三个交点；(2)若0a1，则(12a)24(a21)54a0，a210，方程仅有一正根，两曲线有两个交点,http:/,【答案】两个或三个4F1、F2为椭圆 1的左、右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是_【答案】x2y24,http:/,5已知ABC中，B(1,0)、C(5,0)，点A在x轴上方移动，且tan Btan C3，则ABC的重心G的轨迹方程为_,http:/,http:/,http:/,【交流感悟】_,http:/,求曲线(或点的轨迹)方程的主要方法有：直接法，相关点代入法，几何法，参数法等，对于前三种方法，可通过板演的形式让学生掌握，而参数法难度较大，特别是设参的技巧，建议讲解为主,导 学 建 议,互 动方 法 探 究,http:/,类型一方程所表示的曲线的探究【温馨提示】判断方程表示什么曲线的问题，一般的解题方法是对方程进行同解变形，能化为函数的可将方程视为函数，研究其定义域，从而把方程变形到易于判断或熟知的方程为止对于复杂的方程，还需进行因式分解，得到每个简单方程表示的曲线，此时，原方程表示的曲线即为上述各曲线,典 例 研 习,http:/,例1,(2)方程4x2y24x2y0表示的图形为()A一个点 B两条互相平行的直线 C两条互相垂直的直线 D两条相交但不垂直的直线【切入思维】(1)将方程视为函数，研究函数的定义域，从而转化为分段函数来解决；(2)将方程左边因式分解，得到两个二元一次方程，分别判断这两个方程表示的图形，从而得到原方程表示的图形,http:/,http:/,【答案】(1)B(2)D【点评】应注意一些特殊曲线(包括直线)的方程，这样才能快速解题,http:/,http:/,类型二用直接法求轨迹方程【温馨提示】如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x，y的等式，得到轨迹方程，这种方法称之为直接法，用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性,http:/,已知RtABC，|AB|2a(a0)，求直角顶点C的方程【切入思维】结合几何图形的结构特点，建立适当的直角坐标系，设出顶点C的坐标，寻找满足几何关系的等式，化简即得方程【解答】以AB所在直线为x轴，AB中点为坐标 原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(a,0)，B(a,0)，设顶点C(x，y),例2,http:/,(法一)由ABC是直角三角形可知|AB|2|AC|2|BC|2，即(2a)2(xa)2y2(xa)2y2，化简得x2y2a2.依题意可知xa.故所求直角顶点C满足的方程为x2y2a2(xa)(法二)由ABC是直角三角形可知ACBC，所以kACkBC1，,http:/,【点评】本题易得到错解：所求方程为x2y2a2.事实上，ABC中，点A，B，C不共线，因此所求方程表示的曲线上不包含(a,0)和(a,0)两点,【变式与思考】(1)求曲线方程时怎样选取坐标系？(2)若长为2a(a0)的线段AB的两端点A，B分别在互相垂直的两条直线上滑动，求线段AB的中点M满足的方程【提示】(1)选取坐标系时，一般将定点或定直线选在坐标轴上，原点有时选在定点处较为方便，有时也要考虑“对称”性(2)以这两条垂直的直线为x，y轴建系x2y2a2.,http:/,http:/,类型三用定义法求轨迹方程【温馨提示】求轨迹方程时，若动点轨迹的条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法用定义法求轨迹方程是高考的热点，不容小视,http:/,例3,若动圆M与圆C：(x2)2y21外切，又与直线l：x10相切，求动圆圆心M的轨迹方程【切入思维】可利用圆的性质及抛物线的定义求解【解答】设动圆圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，由动圆M与圆C：(x2)2y21外切，得|MC|1r.由动圆M与直线l：x10相切，得点M到直线l的距离为r.,http:/,故点M到点(2,0)的距离与它到直线x2的距离相等，所以动圆圆心M的轨迹为抛物线，其方程为y28x.【点评】定义法求轨迹的关键是要紧扣解析几何中有关曲线的定义,http:/,http:/,类型四用相关点法求轨迹方程【温馨提示】动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随相关点变化，其特点是：动点M(x，y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x，y)的坐标，可求出x，y来表示x，y，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程用相关点法求轨迹方程的关键是寻求关系式：xf(x，y)，yg(x，y)，然后代入已知曲线求对称曲线(轴对称、中心对称等)方程实质也是用代入法(相关点法)解题,http:/,例4,(12分)设直线xy4a与抛物线y24ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求ABC的重心的轨迹方程【切入思维】设ABC的重心坐标为G(x，y)，利用重心坐标公式建立x，y与ABC的顶点C的关系，再将点C的坐标(用x，y表示)代入抛物线方程即得所求【标准解答】设ABC的重心为G(x，y)，,http:/,点C的坐标为C(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程组：消去y并整理得：x212ax16a20.2分 x1x212a，y1y2(x14a)(x24a)(x1x2)8a4a.4分 由于G(x，y)为ABC的重心，,又点C(x0，y0)在抛物线上，将点C的坐标代入抛物线的方程得：,http:/,http:/,http:/,同类训练,若已知点A(2a,0)，C为抛物线y24ax上任意一点，试求线段AC的中点P的轨迹方程【解答】设C(x0，y0)，P(x，y)，,http:/,(2009年宁夏)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线,三年高考,http:/,http:/,http:/,http:/,【解析】由题知f(x)为偶函数，故f(2)f(2)，又知x0，)时，f(x)为减函数，且321，f(3)f(2)f(1)，即f(3)f(2)f(1)【答案】A,http:/,【考题赏析】本题主要考查了椭圆的相关知识，以及利用相关点法求动点的轨迹方程 本题易错之处就是混淆轨迹与轨迹方程，求得轨迹方程后便草草收兵，而忽略了说明相应的轨迹为何种图形,http:/,感悟提升1求曲线、轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、代入、化简、检验，检验就是要检验点的轨迹的纯粹性和完备性2求曲线、轨迹方程的方法主要有直接法、定义法、相关点法、参数法等3在探求轨迹的过程中，需要注意的是轨迹的“完备性”和“纯粹性”，也就是既不能多，也不能少，因此，在,http:/,求得轨迹之后，要深入地再思考一下：是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？在所求