数学分析第四章函数的连续性.ppt
2023/10/21,1,第 四 章函数的连续性,2023/10/21,2,1 函数连续的概念,y=(x),A,g(x0),A,g(x0),引例,2023/10/21,3,一、函数的连续性,1.连续的定义,和极限存在的区别,2023/10/21,4,函数的连续的等价定义,2.函数的增量,2023/10/21,5,2023/10/21,6,例1,证,由定义1知,2023/10/21,7,3.单侧连续,定理,2023/10/21,8,左、右极限存在且与函数值相等.,2023/10/21,9,例2,解,右连续但不左连续,2023/10/21,10,4.函数的区间连续,在区间(a,b)上每一点都连续的函数,叫做区间(a,b)上的连续函数,或者说函数在区间(a,b)上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,记为：,2023/10/21,11,例3,证,2023/10/21,12,二、函数的间断点,2023/10/21,13,二、函数的间断点,连续,间断,2023/10/21,14,例4,解,这种情况称x=0为震荡间断点.,2023/10/21,15,例5 符号函数,2023/10/21,16,例6,解,2023/10/21,17,可去间断点,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,2023/10/21,18,2023/10/21,19,解,例8,2023/10/21,20,2023/10/21,21,例9,解,2023/10/21,22,间断点分类：,第类间断点：,都存在,第类间断点：,不全存在,2023/10/21,23,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,2023/10/21,24,例10,解,2023/10/21,25,三、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:跳跃型,可去型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,2023/10/21,26,思考题,2023/10/21,27,思考题解答,且,2023/10/21,28,但反之不成立.,例,但,2023/10/21,29,练 习 题,2023/10/21,30,2023/10/21,31,练习题答案,2023/10/21,32,2023/10/21,33,三、一致连续性,f(x)在某个区间 I（或开，或闭）连续，指得是f(x)在 I 中每一点都连续，即,这就是函数在区间上的一致连续性问题。,2023/10/21,34,定义（一致连续）设 f(x)为定义在区间I上 的函数，若,则称f在I上一致连续。,f在I上一致连续,f在I上连续。,反之不然。,一致连续是整体概念。,2023/10/21,35,连续：,一致连续：,2023/10/21,36,一般说来对I上无穷多个点，存在无穷多个d,这无穷多个d 的下确界可能为零，也可能大于零。,如果这无穷多个d 的下确界为零，则不存在适合I上所有点的公共的大于0的d，,这种情况 f(x)在I 上一致连续。,如果这无穷多个d 的下确界大于零，则必存在对I上每一点都适用的公共的d，,这种情况 f(x)在I上不一致连续，,2023/10/21,37,不一致连续：,定理（Contor定理，一致连续性定理）,若 f 在 a,b 连续，则 f 在 a,b 一致连续。,一致连续：,2023/10/21,38,例1,证,2023/10/21,39,例2,证（1）,2023/10/21,40,2023/10/21,41,第二节 连续函数的运算与初等函数的连续性,一、连续函数的和、积及商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性四、小结,2023/10/21,42,一、连续函数的和、积及商的连续性,定理1,例如,2023/10/21,43,二、反函数与复合函数的连续性,定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,2023/10/21,44,定理3,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,2023/10/21,45,例1,解,定理3,定理3,2023/10/21,46,例2,解2,2023/10/21,47,定理4,注意定理4是定理3的特殊情况.,例如,2023/10/21,48,三、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.,只要证明 连续即可,2023/10/21,49,(可以证明，幂函数均在其定义域内连续),定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,2023/10/21,50,(均在其定义域内连续),2023/10/21,51,例3,例4,解,解,初等函数求极限的方法代入法,2023/10/21,52,例1,解,2023/10/21,53,例2,2023/10/21,54,四、小结,连续函数的和差积商的连续性.,复合函数的连续性.,初等函数的连续性.,两个定理;两点意义.,反函数的连续性.,2023/10/21,55,练 习 题,2023/10/21,56,2023/10/21,57,2023/10/21,58,练习题答案,2023/10/21,59,第三节 闭区间上连续函数的性质,一、最值定理二、介值定理三、小结,2023/10/21,60,一、最值定理,定义:,最大、最小值定义,2023/10/21,61,定理1(最值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意：1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,2023/10/21,62,注意：1.若区间是开区间,定理不一定成立;,2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,2023/10/21,63,定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,2023/10/21,64,定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,则f(x)在a,b上有最大值M，最小值m.,2023/10/21,65,二、零点定理、介值定理,定义:,定理3（零点定理）,2023/10/21,66,几何解释:,2023/10/21,67,证,由零点定理,用零点定理证,2023/10/21,68,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,x1,x2,2023/10/21,69,例1,证,由零点定理,代数应用:零点存在定理给了大家一个判定方程在某个区间上是否有根的方法.,2023/10/21,70,例2,证,由零点定理,2023/10/21,71,三、小结,四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意1闭区间；2连续函数这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;,2023/10/21,72,思考题,下述命题是否正确？,2023/10/21,73,思考题解答,不正确.,例函数,2023/10/21,74,练 习 题,2023/10/21,75,2023/10/21,76,补充 极限计算：,解,例1,2023/10/21,77,例2,解,计算,2023/10/21,78,解,故原式=0。,2023/10/21,79,解,例3,有界量,无穷小,2023/10/21,80,例4,解,利用有理分式的极限性质,
