教学课件第六节：用正交变换化二次型为标准型.ppt

用正交变换化二次型为标准型,2.把二次型化标准型的根据与步骤：,要使二次型经可逆线性变换变成标准形，这就是要使,也就是要使,因此，上述等价的问题就是：对于对称阵A,寻求可逆矩阵C使得：,为对角阵。这个问题称为把对称阵A合同对角化,成为对角阵。,由上节定理5。8知，任给对称阵A总有正交阵P，使,。把此结论应用于二次型，即有,定理5.9 任给二次型,使之化为标准形,其中,推论 任给n元二次型,使,为规范形。,总有正交变换,是f的矩阵A的特征值,总有正交变换,用正交变换化二次型为标准形的步骤为：（1）.写出f对应的实对称矩阵A,（2）.寻找正交矩阵P，,；（3）.则正交变换,使,。,例5.5.1 求一个正交变换,把二次型,化为标准形。解：二次型的矩阵为,这与例所给矩阵相同。按例的结果，有正交阵,使,，于是有正交变换,，把二次型f化成标准形,如果要把二次型化成规范形只需令：,则得f的规范形为：,例5.5.2 用正交变换将二次型,化为标准形若设,，问该曲面为何种类型的曲面.,解：,二次型的矩阵为,得A的特征值为：,当,求解,因为它们已正交，故只需单位化为,。,，得两个线性无关的特征向量为,当,求解,得一个解,单位化得,所求正交矩阵,正交变换,为,化f为标准形,显然，由解析几何知道，这是一个单叶双曲面方程。,注:如果要画出上述曲面的几何图形，则要求出相应的坐标旋转变换，请参考有关空间解析几何关于坐标轴旋转的有关结论。,