微积分学PPt标准课件17-第17讲高阶导数.ppt

一元微积分学,大 学 数 学（一）,第十七讲 高阶导数,脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民,第四章 一元函数的导数与微分,本章学习要求：理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。熟悉一阶微分形式不变性。熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。,第三节 高阶导数,第四章 一元函数的导数与微分,一.高阶导数的概念,高阶导数的运算法则,隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数,一.高阶导数的概念,推而广之:,按照一阶导数的极限形式,有,和,一个函数的导函数不一定再可导,也不一定连续.如果函数 f(x)在区间 I 上有直到 n 阶的导数 f(n)(x),且 f(n)(x)仍是连续的(此时低于 n 阶的导数均连续),则称 f(x)在区间 I 上 n 阶连续可导,记为,如果 f(x)在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存在且连续,则称函数 f(x)是无穷次连续可导的,记为,解,注意,当 k=n 时,综上所述：,解,多项式,的高阶导数.,解,对多项式而言,每求一次导数,多项式的次数降低一次;n 次多项式的 n 阶导数为一常数;大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0.,求 y=ex 的各阶导数.,解,y=ex 的任何阶导数仍为 ex,求 y=ax 的各阶导数.,解,运用数学归纳法可得,求 y=lnx 的各阶导数.,解,设,类似地,有,则,故由数学归纳法得,解,注意这里的方法,即,类似地,有,解,看出结论没有？,运用数学归纳法可以证得,类似地,可求得,解,解,二阶导数经常遇到,一定要掌握.,解,由复合函数及反函数的求导法则,得,解,高阶导数的运算法则,设 f(x),g(x)有直到 n 阶的导数,则,(1),(2)莱布尼兹公式,两个基本公式,由于,故,解,解,由莱布尼兹公式,证,看出一点什么没有？,你打算怎么处理此式？,对上式关于 x 求导 n 次：,故,即,隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数,原则是:按照高阶导数的定义,运用隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求导.,对方程两边关于 x 求导:,解,想想如何求二阶导数？,对方程两边关于 x 求导,得:,对该方程两边关于 x 求导:,解,从而,其中,方程两边对 x 求导,解,故,解,参数方程求导 并不难啊！,解,解,解,