微积分基本公式一、问题的提出.PPT

第二节 微积分基本公式,一、问题的提出,二、积分上限函数及其导数,三、牛顿莱布尼茨公式,四、小结 思考题,【从变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系看定积分公式应有的形式】,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,1.【定义】,2.【积分上限函数的性质】,【证】,(1),(2),(3),f 在a,b连续，由积分中值定理得,3.【推广】,【证】,【证完】,【思考】,练习：,思考题：,【例1】求,【解】,【分析】这是 型不定式,应用洛必达法则,求导去掉积分号.,【证】,【证】,令,0,1上解存在,4.【原函数存在定理】,【定理的重要意义】,(1)肯定了连续函数的原函数是存在的.,(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,【定理2】,【定理 3】（微积分基本公式）,【证】,三、牛顿莱布尼茨公式,令,牛莱公式,【微积分基本公式表明】,2.求定积分问题转化为求原函数的问题.,【使用牛顿莱布尼兹公式必须注意】,（1）被积函数f(x)在a,b上连续,（2）F(x)是f(x)在a,b上的原函数.,【例4】求,原式,【解】,【例5】,【分析】,本例中函数存在跳跃型间断点，故不存在原函数，从而不能直接用牛莱公式计算.,该定积分可采用积分区间的可加性，在各区间段上用牛莱公式分别积分（因各区间段上存在原函数）.,【解】,一般地，凡可积的分段函数都可以应用积分区间的可加性，在各区间段上分别用牛莱公式进行定积分.,【例6】求,【解】,由图形可知,【例7】以下解法是否正确，说明理由.,【注】该例说明牛莱公式中的F(x)必须是f(x)在该积分区间上的原函数.,【解】面积,则,【教材例6】,【证】,由牛莱公式，有,则有,即,【说明】,本题结论是积分中值定理的改进.,积分中值定理与微分中值定理的联系：,微分中值定理,积分中值定理,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,四、小结,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,【思考题】,【思考题解答】,