微积分10 多元函数的概念、极限与连续.ppt

第一节 多元函数的概念、极限与连续,一、多元函数的概念 二、二元函数的极限与连续,例1 圆柱体的体积 和它的底半径,高 之间的关系为,其中、是三个变量,当变量、在一定范围（，）内取定一对数值 时,根据给定的关系，就有一个确定的值 与之对应.,例2 电路中电流强度,电压 和电阻 之间满足 关系式,其中 是三个变量,当变量 在一定范围()内取定一对数值 时，根据给定的关系,就有一个确定的值 与之对应,1.引例,2.二元函数的定义定义1 设 是三个变量.如果当变量 在一定范围内任意取定一对数值时,变量 按照一定的法则 总有确定的数值与它们对应,则称变量 是变量 的二元函数,记为其中 称为自变量,称为因变量.自变量 的取值范围称为函数的定义域二元函数在点 所取得的函数值记为，或,例,设,求,解,表示数轴上点,则一元函数,可以表示为,;数组,表示空间一点,称为点,若,所以三元函数,可表示为,的坐标以点,为点,表示自变量的函数称为点函数,这样不论是一元函数还是多元函数都可统一地表示,的函数,3.二元函数的定义域 二元函数的定义域较复杂，它可以是一个点，也可能是一条曲线或几条曲线所围成的部分平面，甚至可能是整个平面整个平面或由曲线围成的部分平面称为区域；围成区域的曲线称为该区域的边界;不包括边界的区域称为开区域，连同边界在内的区域称为闭区域以点 为中心，为半径的圆内所有点的集合 称为点 的 邻域，记作 如果一个区域可以被包含在原点的某个邻域内，则称该区域为有界区域，否则称为无界区域,开区域 如:,闭区域 如:,例4 求下列函数的定义域，并画出的图形(1)解 要使函数有意义，应有即定义域为有界开区域,（2）解：要使函数有意义，应有 即定义域为无界闭区域,二元函数 的图形通常是一张曲面.,4.二元函数的几何意义,当,1二元函数的极限,邻域内有定义（点,定义2 设二元函数,在点,可以除外）,如果当点,沿任意路径趋于点,时,函数,趋于常数,那么称,为函数,的某一,总无限,A,时的极限，记为,或,说明：,（1）定义中 的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数.,（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等。,例5 求极限,解:,其中,例6证明 不存在,证：,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,确定极限不存在的方法：,（1）令点,沿,趋向于,极限值与,有关，则,在点,处极限不存在;,，若,（2）找出两种不同趋近方式，使,存在，但两者不相等，则此时,在点,处极限不存在,2二元函数的连续性,定义3 设函数,在点,的某一邻域内,则称函数,在点,如果函数,在区域,内每一点都连续,则,在区域,如果函数,在点,不连续，则称点,是函数,的间断点.,有定义.如果,内连续.,处连续.,称函数,例7 求,解 因为函数,是初等函数,且点,在该函数的定义域内,故,例8 讨论函数,的连续性,时，,为初等函数,故函数在,点处连续.当,不存在,所以函数,在点,处不连续，即原点,是函数的间,解 当,断点,时,由例5知,3有界闭区域上连续函数的性质,性质1（最值定理）在有界闭区域上连续的二元 函数，在该区域上一定有最大值和最小值,性质2（介值定理）在有界闭区域上连续的二元 函数，必能取得介于函数的最大值与最小 值之间的任何值,第二节 偏导数,一、偏导数 二、高阶偏导数,1.偏导数的定义,在点,定义 设函数,的某邻域内有定义,而,在,取得增量,时,函数,相应取得,如果极限,存在,在点,处对,或,增量(称为偏增量):,固定,的偏导数,记为,则称此极限值为函数,类似地,函数,在点,处对,记为,或,偏导数定义为:,的,2.偏导数的求法,例1:求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数.,解 把 y 看成常数,得,把 x 看成常数,得,例2求函数,的偏导数,解:,例3 设,证明:,证 因为,所以,例4:已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常数.),证:因为,求证:,所以,=1,偏导数的记号是一个整体,不能看成微商,否则导致运算错误,例5:求,在点(0,0)处的偏导数.,解:,=0,注意:二元函数在某点存在偏导数,并不能保证函数在该点连续,与一元函数可导必连续是不相同的,3.偏导数的几何意义,是曲面,与平面,的交线在点,处的切线,轴的斜率.,对,是曲面,与平面,的交线在点,处的切线,轴的斜率.,对,二、高阶偏导数,函数,它们都是,的函数,如果这两个函,的偏导数也存在,则称它们的偏导数,的二阶偏导数,数关于,是,的二个偏导数,四个二阶偏导数,二阶混合偏导数,类似地,可定义三阶、四阶以至 阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，而 和 称为函数的一阶偏导数,例6:设 z=x3 y2 3 xy3xy+1,解:,及,求,定理如果函数,的两个二阶混合偏导,在区域,内连续,则对任何,有,数,即二阶混合偏导数连续的条件下,混合偏导数与,求导的次序无关,对更高阶的偏导数也有类似的,结论,例7 设函数,，求,解,，,一、全微分的定义二、全微分在近似计算中的应用,第三节 全微分,当边长,当,其中,记,宽为,称为函数,则面积,一矩形金属片,长为,分别有增量,时,面积的增量为,的全增量，,时,即,且,时，,是比,高阶的无穷小.则,，从而有,1、引例,2.全微分的定义,定义 设函数,在点,的某邻域内有定,义,且,、,存在,如果,在点,处的全增量,可表示为,其中,则称,为函数,在点,处的全微分，记作,由定义可知：,(1)如果函数,处的两个偏导数,在点,处可微，则在该点,、,必都存在,(2)函数,在点,处可微,则函数在点,处连续,(3)规定自变量的增量等于自变量的微分，即,则全微分又可记为,注:若z=f(x,y)在(x,y)处,z=f(x,y)在(x,y)处可微分.,都存在,不能保证,在,处,但它在,处不可微分.,例如：,在点,定理1(充分条件)如果函数,的两个,处存在且连续,则函数,处必可微,例 求函数,的全微分,解,偏导数在点,注：关于二元函数全微分的定义及可微分的充分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数.,解,例：计算,的全微分,例:求 z=x4 y3+2x 在点(1,2)的全微分.,解,dz=34dx+12dy,极限,连续,偏导存在,可微的关系:,极限,连续,偏导存在,可微,+,+,连续,设函数,在点,处可微，当,分别取得增量,时，,从而,解,可看作函数,例4 求,的近似值,在,的函数值.取,第四节 多元复合函数与隐函数的微分法,一、多元复合函数微分,二、隐函数微分法,定理(复合函数的偏导数),在对应点,在点,处有偏导数,处有连续偏导数,在点,处的偏导数存在,且,设函数,函数,则复合函数,例1 设,而,求,解,情形1：,在求多元复合函数的偏导数时，常用图示法,表达变量之间的关系,链式图,设,情形2：,全导数,链式图,设,复合函数的中间变量既有一元函数，又有,链式法则,多元函数的情形,设,链式图,情形3：,注意,链式图,链式法则,设,例2 设函数,其中,求,解,例3 设,而,求,解,例4 设,求,解 令,，,，则,1.一元隐函数求导公式,方程,链式图,两边对x求导，得：,方程,得,两边对x求导：,两边对y求导：,得,，,2.二元隐函数求导公式,例5 求方程,所确定的隐函数,的导数,解 设,则,例7 求由,所确定的二元隐函数,的偏导数,当,解 令,则,时,有,第五节 偏导数在几何上的应用,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,空间曲线,对应于,的一点,切线方程为,向量,是曲线,在点,处的切线的方向向量.,若过点,线在点,且垂直于曲线在该点的切线的平面称为曲,的法平面，则法平面的方程为,例1 求螺旋线,上对应于,点处的,切线与法平面方程,解 因为,所以在,处的切向量为,切点坐标为,于是，螺旋线在,点处的切线方程为,即,即,法平面方程为,例2 求曲线,处的切线与法平面方程,在点,解 将,看成参数,曲线的参数方程为,点的切线的方向向量为,在,所以曲线在点,即,处的切线方程为,法平面方程为,曲面,若过曲面上的点,且在曲面,上的任何曲线在点,则称该平面为曲面,在点,处的切平面,直于切平面的直线，称为曲面,在点,处的法线.,处的切线均在同一个平面上，,且垂,切平面方程为,曲面,在点,处的法线方程为,过点,例3 求圆锥面,在点,处的切平面,及法线方程,解 设,因为,因此，圆锥面在点,即,即,处的切平面方程为,法线方程,例4 求球面,上平行于平面,的切平面方程,解 令,则,切点为,过,的切平面方程为,即,因为它与平面,平行,所以,解得,又因为点,在球面上，所以有,即,解得,于是,点的坐标为,所求切平面方程为,第六节 二元函数的极值,一、二元函数的极值,二、二元函数的最大值与最小值,三、条件极值,定理2（极值存在的充分条件）:,设点,是函数,的驻点，且函数在点,的某邻域内二阶,偏导数连续，令,则,(1)当,时,点,）时,点,是极值点,且,（i）当,（或,）时,点,是极大值点；,(ii)当,（或,是极小值点.,()当,()当,时,点,不是极值点,时,点,不是极值点,可能是极值点也可能,（2）解方程组,得驻点,及,例1 求函数,的极值,解:（1）求偏导数,结论:,在,处,在,处,取得极大值,函数在,处,无极值,函数在,注意:对一般函数,可能的极值点包括驻点或至少一,个偏导数不存在的点.,类似一元函数,求多元函数在有界闭区域上的可能,最值点包括驻点和偏导数不存在的点和边界点.分别,求出各点处的函数值,比较其大小即可.,例2 在,坐标面上找一点,使它到三点,的距离平方和为最小,解 设,为,面上的任一点,则,到,三点距离的平方和为,求,的偏导数，有,解方程组,得驻点,由问题的实际意义知，到三点距离平方和最小的点,一定存在,又只有一个驻点,因此,即为所求点,（1）条件极值,无条件极值,（2）条件极值不能转化为无条件极值（运用,拉格朗日乘数法）。,求函数,在约束条件,下的极值，,其步骤为：,(1)构造辅助函数,称为拉格,朗日函数,其中参数,称为拉格朗日乘数；,(2)解联立方程组,得可能极值点,构造辅助函数,而体积为最大的长方体的体积,例8 求表面积为,则长方体体积,解 设长方体长、宽、高分别为,约束条件为,即,为,解联立方程组,解得,因为,是唯一可能的极值点，所以由问题,的实际意义知,