同济六版高数第四章第2节.ppt

4.2 换元积分法,一、第一类换元法,二、第二类换元法,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,设,可导,则有,一、第一类换元法,定理1(换元积分公式),设f(u)具有原函数,且uj(x)可导,则有换元公式,(也称配元法,凑微分法),一、第一类换元法,定理1(换元积分公式),设f(u)具有原函数,且uj(x)可导,则有换元公式,设f(u)具有原函数F(u)则,换元积分过程,例1,例2,例3,例4,例5,积分公式：,例6,积分公式：,例7,当a0时,例8,积分公式：,例9,例10,含三角函数的积分：,例11,例12,例13,例14,例15,例16,积分公式：,例17,ln|sec xtan x|C,积分公式：,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,思考与练习,1.下列各题求积方法有何不同?,2.求,提示:,法1,法2,法3,二、第二类换元法,定理2 设xj(t)是单调的、可导的函数,并且j(t)0.又设f j(t)j(t)具有原函数F(t),则有换元公式,其中tj-1(x)是xj(t)的反函数.,这是因为,由复合函数和反函数求导法则,常用的变换,例19,解,注 进行变换和逆变换均要根据此图,积分表,例20,解:,(C1Clna),积分表,例21,解,当xa 时,(C1Clna),积分表,当xa时,(C1C2lna),综合起来有,例21,解,当xa 时,(C1Clna),积分表,原式,例22 求,解:令,则,原式,当 x 0 时,类似可得同样结果.,补充积分公式,积分表,小结:,1.第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,令,第四节讲,(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换,令,思考与练习,1.下列积分应如何换元才使积分简便?,令,令,令,