华南农大高数第3章积分.ppt

第二类换元积分法,分部积分法,第一换元法,第二换元法,注：单调、可导，且,凑微分,则,对于,则,则,对于,对于,一般地：第二类换元法主要是利用三角关系式化根式 为三角函数的有理式，再积分。,令,令,令,上式中，均假设,为各对应反三角函数的主值区间。,解,令,则,原式,辅助三角形,公式,解,令,则,原式,公式,解,令,则,原式,解,令,则,原式,辅助三角形,基本积分公式P106-P107,公式的直接应用,例1,例2,例3,解,令,则,原式,特例,直接令根式为u，化根式为有理式,解,令,则,原式,直接令根式为u，化根式为有理式,解,则,令,原式,P107公式（20）,直接令根式为u，化根式为有理式,解,原式,例4 求不定积分,则,令,直接令根式为u，化根式为有理式,例5 求不定积分,解,则,令,原式,由,得,即,或,分部积分法,分部积分公式,解,则,令,原式,若令,则,原式,失败！,与 的选择原则,1、可求；,2、可求，或较易求,解,令,则,原式,练习,求不定积分,解答 原式,两次使用分部积分公式,解,原式,解,原式,解,原式,解,原式,解,原式,所以,一般规律,令幂函数为,令幂函数为,两次使用分部积分公式，返回到原积分，变形，得解,注意：第一次使用分部积分公式时，u与dv可任选，但第二次使用分部积分公式时，u与dv的选择，必须与第一次的选择同类。,解,原式,所以,解,原式,所以,解,令,则,原式,求不定积分方法小结,直接积分法变形、用公式（24条）,第一类换元积分法,凑微分,第二类换元积分法,利用三角代换，化无理根式为有理式,分部积分法,有理分式的积分,真分式的性质,将真分式 分解为部分分式之和,上面等式两边乘以,，则,令,令,故,解 因为,例1 求不定积分,所以,解,由待定系数法，把被积函数分解为部分分式之和,例2 求不定积分,所以,万能公式,三角函数有理式的积分,则,原式,例3 求不定积分,解,再见！,